Номер 1.20, страница 8 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.20, страница 8.

Условие.

1.20**. Автобус движется по прямому шоссе со скоростью $v_1$. Человек может бежать с меньшей скоростью $v_2$. Где (вне шоссе) должен находиться первоначально человек, чтобы успеть «перехватить» автобус?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость автобуса: $v_1$

Скорость человека: $v_2$

По условию $v_1 > v_2$.

Найти:

Область начальных положений человека, из которых он может «перехватить» автобус.

Решение:

Введем систему координат. Пусть шоссе совпадает с осью $\text{Ox}$. В начальный момент времени $t=0$ автобус находится в начале координат $O(0,0)$ и движется в положительном направлении оси $\text{Ox}$. Пусть начальное положение человека — точка $\text{M}$ с координатами $(x, y)$.

Для того чтобы человек мог перехватить автобус, ему необходимо достичь некоторой точки $P(x_p, 0)$ на шоссе за время $\text{t}$, которое не превышает времени движения автобуса до этой же точки. При этом точка перехвата должна находиться впереди или в месте начального положения автобуса, то есть $x_p \ge 0$.

Время, за которое автобус достигнет точки $P(x_p, 0)$, равно:

$t_{авт} = \frac{x_p}{v_1}$

Расстояние, которое должен пробежать человек от точки $M(x, y)$ до точки $P(x_p, 0)$, равно $d = \sqrt{(x_p - x)^2 + y^2}$. Минимальное время, за которое человек может преодолеть это расстояние, равно:

$t_{чел} = \frac{d}{v_2} = \frac{\sqrt{(x_p - x)^2 + y^2}}{v_2}$

Условие перехвата заключается в том, что должно существовать такое значение $x_p \ge 0$, для которого выполняется неравенство $t_{чел} \le t_{авт}$:

$\frac{\sqrt{(x_p - x)^2 + y^2}}{v_2} \le \frac{x_p}{v_1}$

Возведем обе части неравенства в квадрат (обе части неотрицательны):

$\frac{(x_p - x)^2 + y^2}{v_2^2} \le \frac{x_p^2}{v_1^2}$

$v_1^2((x_p - x)^2 + y^2) \le v_2^2 x_p^2$

$v_1^2(x_p^2 - 2x_p x + x^2 + y^2) \le v_2^2 x_p^2$

Перегруппируем члены, чтобы получить квадратное неравенство относительно $x_p$:

$(v_1^2 - v_2^2)x_p^2 - (2v_1^2 x)x_p + v_1^2(x^2 + y^2) \le 0$

Это неравенство имеет решение для $x_p$ только в том случае, если парабола, стоящая в левой части (ветви направлены вверх, так как $v_1 > v_2$), пересекает ось абсцисс или касается ее. Это означает, что дискриминант соответствующего квадратного уравнения должен быть неотрицательным: $D \ge 0$.

$D = (-2v_1^2 x)^2 - 4(v_1^2 - v_2^2)v_1^2(x^2 + y^2) \ge 0$

$4v_1^4 x^2 - 4v_1^2(v_1^2 - v_2^2)(x^2 + y^2) \ge 0$

Разделим на $4v_1^2$ (это положительное число):

$v_1^2 x^2 - (v_1^2 - v_2^2)(x^2 + y^2) \ge 0$

$v_1^2 x^2 - v_1^2 x^2 - v_1^2 y^2 + v_2^2 x^2 + v_2^2 y^2 \ge 0$

$v_2^2(x^2 + y^2) - v_1^2 y^2 \ge 0$

$v_2^2 x^2 \ge (v_1^2 - v_2^2)y^2$

Кроме того, необходимо, чтобы существовало хотя бы одно неотрицательное решение $x_p \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $t_1, t_2$ имеют одинаковый знак, так как их произведение $\frac{v_1^2(x^2+y^2)}{v_1^2-v_2^2} > 0$. Сумма корней $t_1+t_2 = \frac{2v_1^2x}{v_1^2-v_2^2}$. Чтобы корни были положительными, их сумма должна быть положительной, что требует $x \ge 0$. Если $x < 0$, то оба корня отрицательны, что не имеет физического смысла (перехват в прошлом). Таким образом, необходимо дополнительное условие $x \ge 0$.

Итак, мы имеем два условия для координат человека $(x, y)$:

1. $x \ge 0$ (человек должен находиться не позади автобуса, если считать от перпендикуляра к шоссе).

2. $v_2^2 x^2 \ge (v_1^2 - v_2^2)y^2$, что можно переписать как $|y| \le x \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}$.

Геометрически это означает, что человек должен находиться внутри или на границе конуса (в двумерном случае — угла), вершина которого находится в начальной точке положения автобуса, а ось симметрии совпадает с шоссе. Угол $\alpha$ между осью шоссе и образующей конуса определяется соотношением:

$\tan \alpha = \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}$

Это соотношение можно выразить через синус угла. Если рассмотреть прямоугольный треугольник с гипотенузой $v_1$ и катетом $v_2$, то второй катет будет $\sqrt{v_1^2 - v_2^2}$. Тогда $\sin \alpha = \frac{v_2}{v_1}$.

Таким образом, угол раствора конуса равен $2\alpha = 2\arcsin(v_2/v_1)$.

Ответ:

Человек должен первоначально находиться в области, представляющей собой конус (в двумерной плоскости — сектор), вершина которого совпадает с начальным положением автобуса, а ось симметрии — с шоссе. Этот конус должен быть направлен в сторону движения автобуса. Угол $\alpha$ между шоссе и границей этой области определяется соотношением $\sin \alpha = v_2 / v_1$. Иными словами, человек должен находиться в секторе с углом раствора $2\alpha = 2\arcsin(v_2 / v_1)$, расположенном в полуплоскости по направлению движения автобуса.