Номер 1.13, страница 6 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.13, страница 6.

Условие.

1.13*. Два автомобиля движутся с постоянными скоростями $v_1$ и $v_2$ по дорогам, пересекающимся под прямым углом. Когда первый автомобиль достиг перекрестка, второму оставалось проехать до этого места расстояние $\text{l}$. Спустя какое время $\text{t}$ после этого расстояние между автомобилями будет наименьшим? Чему равно это расстояние $s_{min}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость первого автомобиля: $v_1$
Скорость второго автомобиля: $v_2$
Начальное расстояние второго автомобиля до перекрестка: $\text{l}$
Движение с постоянными скоростями.
Дороги пересекаются под прямым углом.

Найти:

$\text{t}$ — время, когда расстояние между автомобилями будет наименьшим.
$s_{min}$ — наименьшее расстояние между автомобилями.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат, направив оси вдоль дорог. Пусть перекресток находится в начале координат (0, 0).

В начальный момент времени ($t=0$), который соответствует моменту, когда первый автомобиль достиг перекрестка, их положения следующие:
Первый автомобиль находится в точке с координатами $(0, 0)$.
Второй автомобиль находится на расстоянии $\text{l}$ от перекрестка. Пусть его координаты будут $(0, l)$.

Через время $\text{t}$ после начального момента, первый автомобиль, двигаясь со скоростью $v_1$ вдоль оси $\text{Ox}$, окажется в точке с координатами $(v_1 t, 0)$.
Второй автомобиль, двигаясь со скоростью $v_2$ к перекрестку вдоль оси $\text{Oy}$, окажется в точке с координатами $(0, l - v_2 t)$.

Расстояние $\text{s}$ между автомобилями в момент времени $\text{t}$ можно найти по теореме Пифагора как расстояние между двумя точками на плоскости:
$s(t) = \sqrt{(v_1 t - 0)^2 + (0 - (l - v_2 t))^2} = \sqrt{(v_1 t)^2 + (l - v_2 t)^2}$

Расстояние $\text{s}$ будет минимальным, когда его квадрат $s^2$ будет минимальным. Найдем выражение для квадрата расстояния:
$s^2(t) = (v_1 t)^2 + (l - v_2 t)^2 = v_1^2 t^2 + l^2 - 2lv_2 t + v_2^2 t^2$
$s^2(t) = (v_1^2 + v_2^2)t^2 - 2lv_2 t + l^2$

Это выражение является квадратичной функцией от времени $\text{t}$ вида $f(t) = At^2 + Bt + C$, где $A = v_1^2 + v_2^2$, $B = -2lv_2$ и $C = l^2$.
Поскольку коэффициент $A = v_1^2 + v_2^2$ положителен, график этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция имеет точку минимума.

Спустя какое время t после этого расстояние между автомобилями будет наименьшим?

Минимум квадратичной функции достигается в вершине параболы, при $t = -B / (2A)$.
$t = \frac{-(-2lv_2)}{2(v_1^2 + v_2^2)} = \frac{2lv_2}{2(v_1^2 + v_2^2)}$
$t = \frac{lv_2}{v_1^2 + v_2^2}$
Ответ: $t = \frac{lv_2}{v_1^2 + v_2^2}$

Чему равно это расстояние s_min?

Для нахождения наименьшего расстояния $s_{min}$ подставим найденное значение времени $\text{t}$ в выражение для $s^2(t)$:
$s_{min}^2 = (v_1^2 + v_2^2) \left( \frac{lv_2}{v_1^2 + v_2^2} \right)^2 - 2lv_2 \left( \frac{lv_2}{v_1^2 + v_2^2} \right) + l^2$
$s_{min}^2 = (v_1^2 + v_2^2) \frac{l^2v_2^2}{(v_1^2 + v_2^2)^2} - \frac{2l^2v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} + l^2$
$s_{min}^2 = \frac{l^2v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} - \frac{2l^2v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} + l^2 = -\frac{l^2v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} + l^2$
Приводя к общему знаменателю:
$s_{min}^2 = \frac{-l^2v_2^2 + l^2(v_1^2 + v_2^2)}{v_1^2 + v_2^2} = \frac{-l^2v_2^2 + l^2v_1^2 + l^2v_2^2}{v_1^2 + v_2^2}$
$s_{min}^2 = \frac{l^2v_1^2}{v_1^2 + v_2^2}$
Извлекая квадратный корень, получаем искомое минимальное расстояние:
$s_{min} = \sqrt{\frac{l^2v_1^2}{v_1^2 + v_2^2}} = \frac{lv_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$
Ответ: $s_{min} = \frac{lv_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$