Номер 1.17, страница 7 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.17, страница 7.

Условие.

1.17*. Каким будет ответ в задаче 1.16, если тень на левой стене поднимается со скоростью $v_1$, а на правой — опускается со скоростью $v_2$?

Решение.

Решение 2.

Поскольку данная задача является усложненной версией задачи 1.16 (на что указывает звездочка), ее решение требует восстановления наиболее вероятного условия исходной задачи. Будем исходить из стандартной постановки для такого типа задач: между двумя параллельными вертикальными стенами движется небольшой объект, который освещается неподвижным точечным источником света. Требуется определить скорость этого объекта. Чтобы задача имела однозначное решение, необходимо сделать предположение о траектории движения объекта. Наиболее частым и логичным в таких задачах является предположение о движении объекта по срединной линии между стенами.

Решение

Введем декартову систему координат. Пусть две параллельные вертикальные стены находятся в плоскостях $x=0$ (левая стена) и $x=d$ (правая стена), где $\text{d}$ — расстояние между ними. Ось $\text{z}$ направим вертикально вверх.

Предположим, что небольшой объект $\text{P}$ движется строго по вертикальной прямой, расположенной посередине между стенами, то есть его координата $\text{x}$ постоянна и равна $d/2$. Координаты объекта в момент времени $\text{t}$ можно записать как $P(t) = (d/2, z_p(t))$. Его скорость $\vec{v}_p$ направлена вертикально, и ее проекция на ось $\text{z}$ равна $v_z = \frac{dz_p}{dt}$.

Источник света $\text{S}$ является точечным и неподвижным. Его точное положение не имеет значения для конечного результата, важно лишь, что он не движется.

Тень от объекта на левой стене $L_{sh}$ имеет координаты $(0, z_1(t))$, а на правой стене $R_{sh}$ — $(d, z_2(t))$.

Согласно условию, тень на левой стене поднимается со скоростью $v_1$, а на правой — опускается со скоростью $v_2$. В выбранной системе координат это означает:

$ \frac{dz_1}{dt} = v_1 $

$ \frac{dz_2}{dt} = -v_2 $

В любой момент времени источник света $\text{S}$, объект $\text{P}$ и его тени на стенах ($L_{sh}$ и $R_{sh}$) лежат на одной прямой. Рассмотрим точку $\text{M}$, являющуюся серединой отрезка, который соединяет тени $L_{sh}$ и $R_{sh}$. Координаты этой точки:

$ M = \left( \frac{0+d}{2}, \frac{z_1(t) + z_2(t)}{2} \right) = \left( \frac{d}{2}, \frac{z_1(t) + z_2(t)}{2} \right) $

Из координат видно, что точка $\text{M}$ всегда находится на срединной линии $x=d/2$.

Для данной оптической системы существует важное геометрическое свойство: точка пересечения прямой, проходящей через источник света $\text{S}$ и объект $\text{P}$, со срединной плоскостью $x=d/2$ всегда совпадает с точкой $\text{M}$ (серединой отрезка между тенями).

Поскольку по нашему предположению объект $\text{P}$ сам движется вдоль срединной линии $x=d/2$, он и является этой точкой пересечения. Следовательно, в любой момент времени высота объекта $\text{P}$ равна высоте точки $\text{M}$:

$ z_p(t) = \frac{z_1(t) + z_2(t)}{2} $

Чтобы найти искомую скорость объекта $v_z$, продифференцируем полученное выражение для $z_p(t)$ по времени:

$ v_z = \frac{dz_p}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{z_1(t) + z_2(t)}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{dz_1}{dt} + \frac{dz_2}{dt} \right) $

Теперь подставим заданные в условии скорости теней:

$ v_z = \frac{1}{2} (v_1 + (-v_2)) = \frac{v_1 - v_2}{2} $

Это и есть вертикальная скорость объекта. Так как мы предположили, что объект движется только вертикально, его полная скорость $\vec{v}_p$ направлена вдоль оси $\text{z}$. Если $v_1 > v_2$, то скорость направлена вверх. Если $v_1 < v_2$, то скорость направлена вниз. Если $v_1 = v_2$, то объект покоится.

Ответ: Скорость объекта равна $ \frac{v_1 - v_2}{2} $ и направлена вертикально.