Номер 1.21, страница 8 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.21, страница 8.

Условие.

1.21*. Две прямые, пересекающиеся под углом $\alpha$ (см. рисунок), движутся перпендикулярно самим себе со скоростями $v_1$ и $v_2$. С какой скоростью $\text{v}$ движется точка пересечения прямых?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Две прямые, пересекающиеся под углом $\alpha$.
Скорость движения первой прямой, перпендикулярно самой себе: $v_1$.
Скорость движения второй прямой, перпендикулярно самой себе: $v_2$.

Найти:

Скорость движения точки пересечения прямых $\text{v}$.

Решение:

Пусть $\vec{v}$ – скорость точки пересечения. Так как точка пересечения в любой момент времени принадлежит обеим прямым, ее скорость должна удовлетворять условиям движения обеих прямых.

Условие движения прямой заключается в том, что проекция скорости любой ее точки на направление нормали к этой прямой равна скорости движения самой прямой.

Пусть $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ – единичные векторы нормалей к первой и второй прямым соответственно. Направления этих векторов совпадают с направлениями скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, как показано на рисунке. Тогда условие для точки пересечения можно записать в виде системы уравнений:

$\begin{cases}\vec{v} \cdot \vec{n}_1 = v_1 \\\vec{v} \cdot \vec{n}_2 = v_2\end{cases}$

Для решения этой системы введем декартову систему координат. Направим ось $\text{Oy}$ вдоль вектора $\vec{n}_1$. Тогда $\vec{n}_1 = (0, 1)$.

Угол между прямыми равен $\alpha$. Из рисунка видно, что векторы скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ (а значит, и нормали $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$) направлены так, что угол между ними составляет $\beta = \pi - \alpha$.

Тогда компоненты вектора $\vec{n}_2$ будут:$\vec{n}_2 = (\cos(\frac{\pi}{2} - (\pi - \alpha)), \cos(\pi - \alpha)) = (\sin(\pi - \alpha), \cos(\pi - \alpha)) = (\sin\alpha, -\cos\alpha)$.

Пусть искомый вектор скорости точки пересечения имеет компоненты $\vec{v} = (v_x, v_y)$. Подставим компоненты векторов в систему уравнений:

$\begin{cases}(v_x, v_y) \cdot (0, 1) = v_1 \\(v_x, v_y) \cdot (\sin\alpha, -\cos\alpha) = v_2\end{cases}$

$\begin{cases}v_y = v_1 \\v_x \sin\alpha - v_y \cos\alpha = v_2\end{cases}$

Подставим $v_y$ из первого уравнения во второе:

$v_x \sin\alpha - v_1 \cos\alpha = v_2$

Отсюда выразим $v_x$:

$v_x = \frac{v_2 + v_1 \cos\alpha}{\sin\alpha}$

Теперь найдем модуль скорости $\text{v}$ как $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$:

$v^2 = \left(\frac{v_2 + v_1 \cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 + v_1^2 = \frac{v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\alpha + v_1^2 \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + v_1^2$

Приведем к общему знаменателю:

$v^2 = \frac{v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\alpha + v_1^2 \cos^2\alpha + v_1^2 \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$v^2 = \frac{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\alpha}{\sin^2\alpha}$

Извлекая квадратный корень, находим искомую скорость:

$v = \frac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\alpha}}{|\sin\alpha|}$

Поскольку $\alpha$ – это угол между прямыми, то $0 < \alpha < \pi$, и, следовательно, $\sin\alpha > 0$. Таким образом, знак модуля можно опустить.

Ответ: $v = \frac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\alpha}}{\sin\alpha}$