Номер 1.23, страница 8 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.23, страница 8.

Условие.

1.23**. В каких пределах может изменяться угол $\beta$ разлета осколков (см. задачу 1.22)?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса исходного тела: $\text{M}$

Массы осколков: $m_1$, $m_2$, где $M = m_1 + m_2$

Начальная скорость тела: $\vec{v}_0$

Энергия, выделившаяся при взрыве (перешедшая в кинетическую энергию осколков в системе центра масс): $\text{E}$

Найти:

Пределы изменения угла разлета осколков $\beta$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Наиболее удобно проводить анализ в системе отсчета, связанной с центром масс (СЦМ) системы.

1. Анализ в системе центра масс (СЦМ).

Скорость центра масс системы до и после взрыва остается неизменной и равной начальной скорости тела $\vec{v}_{CM} = \vec{v}_0$.

В СЦМ суммарный импульс системы равен нулю. До взрыва тело покоится в СЦМ. После взрыва осколки разлетаются в противоположных направлениях со скоростями $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$. Из закона сохранения импульса в СЦМ:

$m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 = 0 \implies \vec{u}_1 = -\frac{m_2}{m_1}\vec{u}_2$

Это означает, что векторы $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ антипараллельны.

Энергия $\text{E}$, выделившаяся при взрыве, переходит в кинетическую энергию осколков в СЦМ:

$E = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$

Используя соотношение $u_1 = \frac{m_2}{m_1}u_2$, можно выразить скорости $u_1$ и $u_2$ через $\text{E}$ и массы:

$E = \frac{1}{2}m_1\left(\frac{m_2}{m_1}u_2\right)^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}\frac{m_2^2}{m_1}u_2^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_2u_2^2\left(\frac{m_2}{m_1} + 1\right) = \frac{1}{2}m_2u_2^2\frac{m_1+m_2}{m_1}$

Отсюда находим модули скоростей осколков в СЦМ:

$u_2 = \sqrt{\frac{2Em_1}{m_2(m_1+m_2)}}$

$u_1 = \sqrt{\frac{2Em_2}{m_1(m_1+m_2)}}$

Важно, что величины $u_1$ и $u_2$ постоянны для данного взрыва, но направление их разлета (ось разлета) может быть любым.

2. Переход в лабораторную систему отсчета (ЛСО).

Скорости осколков в ЛСО $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ находятся по закону сложения скоростей:

$\vec{v}_1 = \vec{v}_{CM} + \vec{u}_1 = \vec{v}_0 + \vec{u}_1$

$\vec{v}_2 = \vec{v}_{CM} + \vec{u}_2 = \vec{v}_0 + \vec{u}_2$

Угол разлета осколков $\beta$ – это угол между векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Этот угол зависит от ориентации векторов $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ (оси разлета) относительно вектора начальной скорости $\vec{v}_0$.

3. Определение пределов изменения угла $\beta$.

Минимальный угол $\beta_{min}=0$. Он достигается, когда оба осколка летят в одном направлении в ЛСО. Это возможно, если ось разлета совпадает с направлением $\vec{v}_0$, и скорость $\vec{v}_0$ достаточно велика, чтобы "увлечь" за собой даже тот осколок, который в СЦМ летит назад. Например, если $\vec{u}_2$ направлен против $\vec{v}_0$, то скорость $\vec{v}_2 = \vec{v}_0 + \vec{u}_2$. Если $v_0 > u_2$, то $\vec{v}_2$ будет направлен вперед, как и $\vec{v}_1$, и угол $\beta=0$.

Максимальный угол $\beta_{max}$ зависит от соотношения между скоростью центра масс $v_0$ и скоростями осколков в СЦМ $u_1$ и $u_2$.

Случай 1: $v_0 \le u_1$ или $v_0 \le u_2$.

Предположим, $v_0 \le u_1$. Направим ось разлета вдоль $\vec{v}_0$ так, чтобы вектор $\vec{u}_1$ был направлен против $\vec{v}_0$. Тогда скорость первого осколка в ЛСО будет $\vec{v}_1 = \vec{v}_0 + \vec{u}_1$, и ее модуль равен $v_1 = u_1 - v_0$. Направление $\vec{v}_1$ будет противоположно $\vec{v}_0$. Скорость второго осколка $\vec{v}_2 = \vec{v}_0 + \vec{u}_2$ будет направлена вдоль $\vec{v}_0$. В этом случае векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ антипараллельны, и угол между ними $\beta = 180^\circ$. Таким образом, если скорость центра масс меньше скорости хотя бы одного из осколков в СЦМ, то максимальный угол разлета равен $180^\circ$.

В этом случае диапазон изменения угла: $0 \le \beta \le 180^\circ$.

Случай 2: $v_0 > u_1$ и $v_0 > u_2$.

В этом случае, как бы мы ни ориентировали ось разлета, оба осколка в ЛСО всегда будут лететь "вперед" (т.е. проекция их скоростей на направление $\vec{v}_0$ всегда положительна). Угол разлета $\beta$ не может достичь $180^\circ$.

Максимальный угол $\beta_{max}$ будет достигнут, когда векторы скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ будут максимально отклонены в разные стороны от направления $\vec{v}_0$. Геометрически это соответствует ситуации, когда векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ являются касательными к сферам, которые описывают концы векторов $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ (с центром в конце вектора $\vec{v}_0$). Это значит, что $\vec{v}_1 \perp \vec{u}_1$ и $\vec{v}_2 \perp \vec{u}_2$.

Из прямоугольного треугольника, образованного векторами $\vec{v}_0, \vec{u}_1, \vec{v}_1$, максимальный угол отклонения первого осколка $\alpha_1$ от направления $\vec{v}_0$ находится из соотношения:

$\sin(\alpha_{1,max}) = \frac{u_1}{v_0}$

Аналогично для второго осколка:

$\sin(\alpha_{2,max}) = \frac{u_2}{v_0}$

Максимальный угол разлета $\beta_{max}$ равен сумме максимальных углов отклонения:

$\beta_{max} = \alpha_{1,max} + \alpha_{2,max} = \arcsin\left(\frac{u_1}{v_0}\right) + \arcsin\left(\frac{u_2}{v_0}\right)$

В этом случае диапазон изменения угла: $0 \le \beta \le \arcsin\left(\frac{u_1}{v_0}\right) + \arcsin\left(\frac{u_2}{v_0}\right)$.

Ответ:

Диапазон изменения угла разлета $\beta$ зависит от соотношения начальной скорости тела $v_0=|\vec{v}_0|$ и модулей скоростей осколков в системе центра масс $u_1$ и $u_2$, где $u_1 = \sqrt{\frac{2 E m_2}{m_1(m_1+m_2)}}$ и $u_2 = \sqrt{\frac{2 E m_1}{m_2(m_1+m_2)}}$.

1. Если $v_0 \le u_1$ или $v_0 \le u_2$, то угол разлета может изменяться в пределах от $\text{0}$ до $180^\circ$ ($ \pi $ радиан).

$0 \le \beta \le 180^\circ$

2. Если $v_0 > u_1$ и $v_0 > u_2$, то угол разлета может изменяться в пределах от $\text{0}$ до $\beta_{max}$.

$0 \le \beta \le \beta_{max}$, где $\beta_{max} = \arcsin\left(\frac{u_1}{v_0}\right) + \arcsin\left(\frac{u_2}{v_0}\right)$.