Номер 1.30, страница 9 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.30, страница 9.

Условие.

1.30. С каким промежутком времени оторвались от крыши две капли, если спустя 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями равно 25 м?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$t_2 = 2$ с

$S = 25$ м

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$\Delta t$ - ?

Решение:

Движение капель является свободным падением. Запишем уравнение движения для тела, падающего без начальной скорости. Начало отсчета (нулевую координату) выберем на уровне крыши, а ось координат направим вертикально вниз.

Тогда пройденный путь капли в любой момент времени $\text{t}$ определяется по формуле:

$h(t) = \frac{gt^2}{2}$

Пусть $\Delta t$ — искомый промежуток времени между отрывом первой и второй капли. В момент времени, указанный в задаче, вторая капля падала в течение времени $t_2 = 2$ с. Первая капля к этому моменту падала в течение времени $t_1 = t_2 + \Delta t$.

Найдем пути, пройденные каждой из капель к этому моменту:

Путь, пройденный первой каплей: $h_1 = \frac{g t_1^2}{2} = \frac{g(t_2 + \Delta t)^2}{2}$

Путь, пройденный второй каплей: $h_2 = \frac{g t_2^2}{2}$

Расстояние между каплями $\text{S}$ равно разности пройденных ими путей:

$S = h_1 - h_2 = \frac{g(t_2 + \Delta t)^2}{2} - \frac{g t_2^2}{2}$

Вынесем общий множитель за скобки и упростим выражение:

$S = \frac{g}{2} \left( (t_2 + \Delta t)^2 - t_2^2 \right)$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$S = \frac{g}{2} (t_2 + \Delta t - t_2)(t_2 + \Delta t + t_2)$

$S = \frac{g}{2} \Delta t (2t_2 + \Delta t)$

Подставим известные значения в полученное уравнение. Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

$25 = \frac{10}{2} \cdot \Delta t \cdot (2 \cdot 2 + \Delta t)$

$25 = 5 \cdot \Delta t \cdot (4 + \Delta t)$

Разделим обе части уравнения на 5:

$5 = \Delta t (4 + \Delta t)$

$5 = 4\Delta t + (\Delta t)^2$

Получили квадратное уравнение относительно $\Delta t$:

$(\Delta t)^2 + 4\Delta t - 5 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Разложим на множители:

$(\Delta t + 5)(\Delta t - 1) = 0$

Корни уравнения: $\Delta t_1 = 1$ и $\Delta t_2 = -5$.

Поскольку промежуток времени $\Delta t$ не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только положительный корень.

Следовательно, искомый промежуток времени равен 1 с.

Ответ: 1 с.