Номер 1.32, страница 9 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.32, страница 9.

Условие.

1.32. Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью $v_0 = 19,6 \text{ м/с}$ с промежутком времени $\tau = 0,5 \text{ с}$. Через какое время $\text{t}$ после бросания второго тела и на какой высоте $\text{h}$ тела встретятся?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 19,6$ м/с

$\tau = 0,5$ с

Все данные предоставлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Найти:

$\text{t}$ - ?

$\text{h}$ - ?

Решение:

Запишем уравнения движения для двух тел. Выберем систему координат с началом в точке броска и осью OY, направленной вертикально вверх. В этом случае движение тел описывается уравнением $y(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2}$.

Пусть $\text{t}$ — это искомое время, прошедшее с момента броска второго тела. Тогда время движения первого тела к моменту встречи составит $t_1 = t + \tau$. Время движения второго тела равно $t_2 = t$.

В момент встречи тела будут находиться на одинаковой высоте $\text{h}$, то есть их координаты будут равны: $h_1 = h_2$.

Запишем уравнения для высоты каждого тела:

Для первого тела: $h_1 = v_0(t + \tau) - \frac{g(t + \tau)^2}{2}$

Для второго тела: $h_2 = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Приравняем правые части уравнений:

$v_0(t + \tau) - \frac{g(t + \tau)^2}{2} = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_0t + v_0\tau - \frac{g(t^2 + 2t\tau + \tau^2)}{2} = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

$v_0t + v_0\tau - \frac{gt^2}{2} - gt\tau - \frac{g\tau^2}{2} = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Сократим одинаковые слагаемые ($v_0t$ и $-\frac{gt^2}{2}$) в обеих частях уравнения:

$v_0\tau - gt\tau - \frac{g\tau^2}{2} = 0$

Из этого уравнения выразим время $\text{t}$:

$gt\tau = v_0\tau - \frac{g\tau^2}{2}$

Разделим обе части на $g\tau$ (так как $\tau \neq 0$ и $g \neq 0$):

$t = \frac{v_0}{g} - \frac{\tau}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$t = \frac{19,6 \text{ м/с}}{9,8 \text{ м/с}^2} - \frac{0,5 \text{ с}}{2} = 2 \text{ с} - 0,25 \text{ с} = 1,75 \text{ с}$

Теперь, зная время встречи, найдем высоту $\text{h}$. Для этого подставим найденное значение $\text{t}$ в уравнение движения для второго тела (оно проще):

$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

$h = 19,6 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 1,75 \text{ с} - \frac{9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1,75 \text{ с})^2}{2} = 34,3 \text{ м} - \frac{9,8 \cdot 3,0625 \text{ м}}{2} = 34,3 \text{ м} - \frac{30,0125 \text{ м}}{2}$

$h = 34,3 \text{ м} - 15,00625 \text{ м} = 19,29375 \text{ м}$

Округлив результат до десятых, получим $h \approx 19,3$ м.

Ответ: тела встретятся через время $t = 1,75$ с после бросания второго тела на высоте $h \approx 19,3$ м.