Номер 1.39, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.39, страница 10.

Условие.

1.39*. На рисунке приведен график зависимости $v_x(t)$ для тела, движущегося вдоль оси $\text{x}$. Постройте графики зависимости от времени ускорения $a_x$, перемещения $s_x$ и пройденного пути $\text{l}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$.

Из графика определяем ключевые значения скорости $v_x$ (в м/с) в моменты времени $\text{t}$ (в с):
$v_x(0) = 4$
$v_x(2) = 0$
$v_x(3) = -2$
$v_x(6) = -2$
$v_x(9) = 0$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Построить графики зависимостей от времени:

1. Ускорения $a_x(t)$.

2. Перемещения $s_x(t)$.

3. Пройденного пути $l(t)$.

Решение:

Разобьем движение тела на три участка в соответствии с изменением характера движения.

График зависимости ускорения $a_x(t)$

Проекция ускорения $a_x$ на каждом участке с прямолинейной зависимостью $v_x(t)$ постоянна и определяется как наклон графика: $a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}$.

Участок 1: $t \in [0, 3]$ с
$a_{x1} = \frac{v_x(3) - v_x(0)}{3 - 0} = \frac{-2 \, м/с - 4 \, м/с}{3 \, с} = -2 \, м/с^2$.

Участок 2: $t \in [3, 6]$ с
Скорость постоянна ($v_x = -2 \, м/с$), следовательно, ускорение равно нулю.
$a_{x2} = 0 \, м/с^2$.

Участок 3: $t \in [6, 9]$ с
$a_{x3} = \frac{v_x(9) - v_x(6)}{9 - 6} = \frac{0 \, м/с - (-2 \, м/с)}{3 \, с} = \frac{2}{3} \, м/с^2$.

Ответ: График $a_x(t)$ представляет собой ступенчатую функцию:
- на интервале от 0 до 3 с — горизонтальный отрезок на уровне $a_x = -2 \, м/с^2$;
- на интервале от 3 до 6 с — горизонтальный отрезок на уровне $a_x = 0 \, м/с^2$;
- на интервале от 6 до 9 с — горизонтальный отрезок на уровне $a_x = \frac{2}{3} \, м/с^2$.

График зависимости перемещения $s_x(t)$

Перемещение $s_x$ за некоторый промежуток времени численно равно площади фигуры под графиком $v_x(t)$ за этот же промежуток. Примем, что начальное положение тела $x_0=0$, тогда $s_x(0)=0$.

Участок 1: $t \in [0, 3]$ с
Движение равноускоренное, зависимость $s_x(t)$ — квадратичная (парабола). Уравнение перемещения: $s_x(t) = v_{x0}t + \frac{a_x t^2}{2} = 4t - t^2$.
В момент $t=2$ с, когда $v_x=0$, тело достигает максимального смещения в положительном направлении: $s_x(2) = 4(2) - 2^2 = 4 \, м$. Это вершина параболы.
В конце участка при $t=3$ с: $s_x(3) = 4(3) - 3^2 = 3 \, м$.

Участок 2: $t \in [3, 6]$ с
Движение равномерное, зависимость $s_x(t)$ — линейная. Перемещение за этот интервал: $\Delta s_{x2} = v_x \cdot \Delta t = -2 \, м/с \cdot (6-3) \, с = -6 \, м$.
Общее перемещение к моменту $t=6$ с: $s_x(6) = s_x(3) + \Delta s_{x2} = 3 \, м - 6 \, м = -3 \, м$.

Участок 3: $t \in [6, 9]$ с
Движение равноускоренное, зависимость $s_x(t)$ — квадратичная. Перемещение за этот интервал равно площади треугольника под осью времени: $\Delta s_{x3} = \frac{1}{2} \cdot v_x(6) \cdot (9-6) = \frac{1}{2} \cdot (-2 \, м/с) \cdot 3 \, с = -3 \, м$.
Общее перемещение к моменту $t=9$ с: $s_x(9) = s_x(6) + \Delta s_{x3} = -3 \, м - 3 \, м = -6 \, м$.

Ответ: График $s_x(t)$ — это непрерывная линия, состоящая из следующих частей:
- на интервале [0, 3] с — парабола с ветвями вниз, проходящая через точки (0, 0), (2, 4) (вершина) и (3, 3);
- на интервале [3, 6] с — отрезок прямой, соединяющий точки (3, 3) и (6, -3);
- на интервале [6, 9] с — парабола с ветвями вверх, соединяющая точки (6, -3) и (9, -6) (вершина параболы).

График зависимости пройденного пути $l(t)$

Пройденный путь $\text{l}$ — это длина траектории, он не может убывать. Путь равен сумме модулей площадей фигур, ограниченных графиком $v_x(t)$ и осью времени.

Участок $t \in [0, 2]$ с
Скорость $v_x > 0$. Путь совпадает с перемещением: $l(2) = s_x(2) = 4 \, м$.

Участок $t \in [2, 3]$ с
Скорость $v_x < 0$. Тело движется в обратном направлении. Путь, пройденный за этот интервал, равен модулю перемещения: $\Delta l_1 = |s_x(3) - s_x(2)| = |3 \, м - 4 \, м| = 1 \, м$.
Общий путь к моменту $t=3$ с: $l(3) = l(2) + \Delta l_1 = 4 \, м + 1 \, м = 5 \, м$.

Участок $t \in [3, 6]$ с
Скорость $v_x < 0$. Путь, пройденный за этот интервал: $\Delta l_2 = |v_x| \cdot \Delta t = |-2 \, м/с| \cdot 3 \, с = 6 \, м$.
Общий путь к моменту $t=6$ с: $l(6) = l(3) + \Delta l_2 = 5 \, м + 6 \, м = 11 \, м$.

Участок $t \in [6, 9]$ с
Скорость $v_x < 0$. Путь, пройденный за этот интервал: $\Delta l_3 = |\Delta s_{x3}| = |-3 \, м| = 3 \, м$.
Общий путь к моменту $t=9$ с: $l(9) = l(6) + \Delta l_3 = 11 \, м + 3 \, м = 14 \, м$.

Ответ: График $l(t)$ — это непрерывная, неубывающая линия, состоящая из следующих частей:
- на интервале [0, 2] с — парабола, вогнутая вниз, из (0, 0) в (2, 4) (совпадает с $s_x(t)$);
- на интервале [2, 3] с — парабола, вогнутая вверх, из (2, 4) в (3, 5);
- на интервале [3, 6] с — отрезок прямой, соединяющий точки (3, 5) и (6, 11);
- на интервале [6, 9] с — парабола, вогнутая вниз, из (6, 11) в (9, 14), наклон которой уменьшается до нуля.