Номер 1.40, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.40, страница 10.

Условие.

1.40. Найдите скорость $\text{v}$ и ускорение $\text{a}$ точек земной поверхности в Харькове за счет суточного вращения Земли. Географические координаты Харькова: $50^\circ$ северной широты, $36^\circ$ восточной долготы. Радиус Земли $R = 6400$ км.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Географическая широта Харькова: $\phi = 50^\circ$

Радиус Земли: $R = 6400 \text{ км}$

Период суточного вращения Земли: $T = 24 \text{ ч}$

Перевод в систему СИ:

$R = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$T = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\text{v}$ — скорость;

$\text{a}$ — ускорение.

Решение:

Вследствие суточного вращения Земли любая точка на ее поверхности (за исключением полюсов) движется по окружности, плоскость которой параллельна плоскости экватора. Географическая долгота не влияет на величину скорости и ускорения, поэтому для расчета нам потребуется только широта $\phi$.

Радиус окружности $\text{r}$, по которой движется точка на широте $\phi$, определяется как проекция радиуса Земли $\text{R}$ на плоскость вращения:

$r = R \cos(\phi)$

Угловая скорость $\omega$ вращения Земли одинакова для всех точек и вычисляется через период вращения $\text{T}$:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Скорость v

Линейная скорость $\text{v}$ точки на поверхности Земли равна произведению угловой скорости на радиус вращения. Вектор скорости направлен на восток, параллельно экватору.

$v = \omega \cdot r = \frac{2\pi}{T} R \cos(\phi)$

Подставим известные значения:

$v = \frac{2\pi}{86400 \text{ с}} \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м}) \cdot \cos(50^\circ)$

Поскольку $\cos(50^\circ) \approx 0.6428$, получаем:

$v \approx \frac{2 \cdot 3.14159}{86400} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \cdot 0.6428 \approx 7.272 \cdot 10^{-5} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \cdot 0.6428 \approx 299 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 299 \text{ м/с}$.

Ускорение a

Поскольку движение происходит с постоянной угловой скоростью, ускорение является центростремительным. Оно направлено к центру окружности вращения (то есть перпендикулярно оси вращения Земли) и вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R \cos(\phi)$

Подставим значения:

$a = \left(\frac{2\pi}{86400 \text{ с}}\right)^2 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м}) \cdot \cos(50^\circ)$

$a \approx (7.272 \cdot 10^{-5} \text{ с}^{-1})^2 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м}) \cdot 0.6428$

$a \approx 5.288 \cdot 10^{-9} \text{ с}^{-2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot 0.6428 \approx 0.0218 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a \approx 0.0218 \text{ м/с}^2$.