Номер 1.47, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.47, страница 10.

Условие.

1.47*. Два тела падают без начальной скорости с одной и той же высоты $\text{H}$. На пути второго тела находится расположенная под углом $45^{\circ}$ к горизонту площадка, с которой это тело упруго сталкивается. Какое тело падало дольше? У какого тела больше конечная скорость? На какой высоте надо разместить площадку, чтобы второе тело упало как можно позже?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная высота: $\text{H}$

Начальная скорость обоих тел: $v_0 = 0$

Угол наклона площадки: $\alpha = 45^\circ$

Столкновение второго тела с площадкой: упругое

Высота расположения площадки: $\text{h}$ (где $0 < h < H$)

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

1. Какое тело падало дольше?

2. У какого тела больше конечная скорость?

3. На какой высоте $\text{h}$ надо разместить площадку, чтобы второе тело упало как можно позже?

Решение:

Какое тело падало дольше?

1. Движение первого тела.

Первое тело совершает свободное падение с высоты $\text{H}$. Время его падения $t_1$ определяется из формулы:

$H = \frac{gt_1^2}{2}$

Отсюда время падения первого тела:

$t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$

2. Движение второго тела.

Движение второго тела состоит из двух этапов.

Этап 1: Свободное падение с высоты $\text{H}$ до высоты $\text{h}$, на которой расположена площадка. Путь, пройденный на этом этапе, равен $H-h$. Время падения $t_{2,1}$ равно:

$H-h = \frac{gt_{2,1}^2}{2} \implies t_{2,1} = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$

Скорость тела перед столкновением с площадкой направлена вертикально вниз и равна по модулю:

$v_b = gt_{2,1} = \sqrt{2g(H-h)}$

Столкновение: Столкновение упругое с площадкой, наклоненной под углом $45^\circ$ к горизонту. При упругом столкновении с неподвижной поверхностью компонент скорости, перпендикулярный поверхности, меняет знак, а параллельный — сохраняется. Так как скорость тела вертикальна, а нормаль к площадке составляет $45^\circ$ с вертикалью, то после столкновения скорость тела станет горизонтальной, а её модуль сохранится. Таким образом, сразу после отскока тело имеет горизонтальную скорость $v_a = v_b = \sqrt{2g(H-h)}$ и нулевую вертикальную скорость.

Этап 2: Движение тела с высоты $\text{h}$ до земли. Это движение тела, брошенного горизонтально с высоты $\text{h}$. Время этого движения $t_{2,2}$ зависит только от высоты $\text{h}$ и начальной вертикальной скорости (которая равна нулю).

$h = \frac{gt_{2,2}^2}{2} \implies t_{2,2} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

3. Сравнение времен.

Полное время падения второго тела $t_2$ равно сумме времен двух этапов:

$t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} + \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g}}(\sqrt{H-h} + \sqrt{h})$

Сравним $t_2$ и $t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$. Для этого сравним выражения $\sqrt{H-h} + \sqrt{h}$ и $\sqrt{H}$. Поскольку обе части положительны, можно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{H-h} + \sqrt{h})^2 = (H-h) + 2\sqrt{h(H-h)} + h = H + 2\sqrt{h(H-h)}$

$(\sqrt{H})^2 = H$

Так как $0 < h < H$, то $h(H-h) > 0$, и следовательно, $2\sqrt{h(H-h)} > 0$.

Значит, $H + 2\sqrt{h(H-h)} > H$.

Отсюда следует, что $\sqrt{H-h} + \sqrt{h} > \sqrt{H}$, и $t_2 > t_1$.

Ответ: Второе тело падало дольше.

У какого тела больше конечная скорость?

Конечная скорость — это скорость тела непосредственно перед падением на землю.

1. Конечная скорость первого тела.

Скорость тела после свободного падения с высоты $\text{H}$ равна:

$v_1 = \sqrt{2gH}$

Эта скорость направлена вертикально вниз.

2. Конечная скорость второго тела.

На втором этапе движения (после отскока) тело имеет постоянную горизонтальную составляющую скорости $v_{2x} = v_a = \sqrt{2g(H-h)}$ и вертикальную составляющую $v_{2y}$, которая за время $t_{2,2}$ становится равной $v_{2y} = gt_{2,2} = g\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$.

Модуль конечной скорости второго тела найдем по теореме Пифагора:

$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{(\sqrt{2g(H-h)})^2 + (\sqrt{2gh})^2} = \sqrt{2g(H-h) + 2gh} = \sqrt{2gH - 2gh + 2gh} = \sqrt{2gH}$.

Таким образом, $v_1 = v_2 = \sqrt{2gH}$.

Этот результат также следует из закона сохранения энергии. Оба тела стартуют с одинаковой высоты $\text{H}$ с нулевой скоростью. Так как столкновение для второго тела упругое (потерь энергии нет) и сопротивлением воздуха пренебрегаем, полная механическая энергия обоих тел сохраняется. Перед падением на землю вся начальная потенциальная энергия $mgH$ переходит в кинетическую, поэтому модули конечных скоростей тел будут одинаковы.

Ответ: Модули конечных скоростей тел одинаковы.

На какой высоте надо разместить площадку, чтобы второе тело упало как можно позже?

Мы ищем максимум функции полного времени падения второго тела $t_2(h)$:

$t_2(h) = \sqrt{\frac{2}{g}}(\sqrt{H-h} + \sqrt{h})$

Для нахождения максимума нужно найти максимум выражения $f(h) = \sqrt{H-h} + \sqrt{h}$ при $h \in (0, H)$.

Возьмем производную функции $f(h)$ по $\text{h}$ и приравняем ее к нулю:

$f'(h) = \frac{d}{dh}(\sqrt{H-h} + \sqrt{h}) = \frac{-1}{2\sqrt{H-h}} + \frac{1}{2\sqrt{h}}$

$f'(h) = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{h}} = \frac{1}{2\sqrt{H-h}}$

$\sqrt{h} = \sqrt{H-h}$

$h = H-h \implies 2h = H \implies h = \frac{H}{2}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно проверить знак второй производной. $f''(h) = -\frac{1}{4(H-h)^{3/2}} - \frac{1}{4h^{3/2}}$. Поскольку $h \in (0, H)$, $f''(h) < 0$, что подтверждает, что $h = H/2$ является точкой максимума.

Следовательно, максимальное время падения второго тела будет достигнуто, если площадку разместить на половине начальной высоты.

Ответ: Площадку надо разместить на высоте $h = H/2$.