Номер 1.49, страница 11 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.49, страница 11.

Условие.

1.49*. Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту вода с начальной скоростью $v_0 = 10 \text{ м/с}$. Площадь сечения отверстия шланга $S = 5 \text{ см}^2$. Найдите массу $\text{m}$ струи, находящейся в воздухе.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\alpha = 45^\circ$

$v_0 = 10$ м/с

$S = 5$ см$^2$

Плотность воды $\rho \approx 1000$ кг/м$^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$

$S = 5 \cdot 10^{-4}$ м$^2$

Найти:

$\text{m}$ - ?

Решение:

Масса струи воды, которая в любой момент времени находится в воздухе, определяется как произведение массового расхода воды на время, которое одна частица воды проводит в полете.

1. Найдем время полета $\text{t}$ одной частицы воды. Движение воды можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Так как шланг лежит на земле, начальная высота $y_0 = 0$ и конечная высота $y = 0$.

Запишем уравнение движения по вертикальной оси $\text{y}$:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$ — начальная проекция скорости на ось $\text{y}$.

Подставим $y(t) = 0$:

$0 = (v_0 \sin(\alpha))t - \frac{gt^2}{2}$

$t(v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ (момент вылета из шланга) и $t_2 = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$ (момент падения на землю). Время полета равно $t_2$.

$t = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

2. Найдем массовый расход воды $Q_m$. Это масса воды, вытекающая из шланга за единицу времени. Он равен произведению плотности воды $\rho$, площади сечения $\text{S}$ и скорости потока $v_0$.

$Q_m = \rho S v_0$

3. Масса всей струи в воздухе $\text{m}$ равна массе воды, вытекшей за время полета $\text{t}$.

$m = Q_m \cdot t = (\rho S v_0) \cdot (\frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}) = \frac{2\rho S v_0^2 \sin(\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{2 \cdot 1000 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 \cdot (10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 \cdot \sin(45^\circ)}{9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}$

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$m = \frac{2 \cdot 1000 \cdot 5 \cdot 10^{-4} \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{9.8} = \frac{1000 \cdot 5 \cdot 10^{-4} \cdot 100 \cdot \sqrt{2}}{9.8}$

$m = \frac{5 \cdot 10^3 \cdot 10^{-4} \cdot 10^2 \cdot \sqrt{2}}{9.8} = \frac{50\sqrt{2}}{9.8}$

Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$m \approx \frac{50 \cdot 1.414}{9.8} \approx \frac{70.7}{9.8} \approx 7.214$ кг

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $m \approx 7.2$ кг.