Номер 1.56, страница 12 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.56, страница 12.

Условие.

1.56. Диск радиусом $\text{R}$ катится без проскальзывания со скоростью $\text{v}$ по горизонтальной дороге (см. рисунок).

а) Найдите модули и направления скоростей и ускорений точек $A, B, C, D$ на ободе диска относительно дороги.

б) Какие точки диска имеют ту же по модулю скорость, что и центр диска $\text{O}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус диска: $\text{R}$

Скорость центра диска: $\text{v}$

Условие: качение без проскальзывания, скорость $\text{v}$ постоянна.

Найти:

а) Модули и направления скоростей и ускорений точек A, B, C, D относительно дороги.

б) Какие точки диска имеют ту же по модулю скорость, что и центр диска O?

Решение:

Движение диска можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс $\vec{v}$ и вращательного движения вокруг центра масс O с угловой скоростью $\omega$.

Условие качения без проскальзывания означает, что скорость точки касания A относительно дороги равна нулю. Скорость точки A складывается из скорости центра диска $\vec{v}$ (направлена вправо) и линейной скорости вращения $\vec{v}_{вр}$ (направлена влево). Таким образом, $v - v_{вр} = 0$, откуда $v_{вр} = v$.

Линейная скорость точек на ободе диска при вращении равна $v_{вр} = \omega R$. Следовательно, $v = \omega R$, и угловая скорость вращения диска $\omega = v/R$. Вращение происходит по часовой стрелке.

Ускорение любой точки P на диске $\vec{a}_P$ равно векторной сумме ускорения центра диска $\vec{a}_O$ и ускорения точки P относительно центра $\vec{a}_{P/O}$. Так как скорость центра $\text{v}$ постоянна, то $\vec{a}_O = 0$. Ускорение точки P относительно центра O — это центростремительное ускорение, направленное к центру O. Его модуль равен $a_ц = \omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$.

а) Найдем скорости и ускорения для указанных точек.

Точка A (нижняя точка):

Скорость: $\vec{v}_A = \vec{v} + \vec{v}_{вр}$. Вектор $\vec{v}$ направлен вправо, вектор $\vec{v}_{вр}$ в точке A направлен влево. Их модули равны. Поэтому $\vec{v}_A = v - v = 0$.

Ускорение: $\vec{a}_A = \vec{a}_O + \vec{a}_{ц} = 0 + \vec{a}_{ц}$. Центростремительное ускорение направлено от точки A к центру O, то есть вертикально вверх. Модуль $a_A = v^2/R$.

Точка C (верхняя точка):

Скорость: $\vec{v}_C = \vec{v} + \vec{v}_{вр}$. В точке C оба вектора направлены вправо. Поэтому $v_C = v + v = 2v$. Направление — горизонтально вправо.

Ускорение: $\vec{a}_C = \vec{a}_O + \vec{a}_{ц}$. Центростремительное ускорение направлено от точки C к центру O, то есть вертикально вниз. Модуль $a_C = v^2/R$.

Точка D (правая точка):

Скорость: $\vec{v}_D = \vec{v} + \vec{v}_{вр}$. Вектор $\vec{v}$ направлен горизонтально вправо, а вектор $\vec{v}_{вр}$ направлен тангенциально, то есть вертикально вниз. Модуль результирующей скорости равен $v_D = \sqrt{v^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}$. Вектор скорости направлен под углом $45^\circ$ к горизонту вниз.

Ускорение: $\vec{a}_D = \vec{a}_O + \vec{a}_{ц}$. Центростремительное ускорение направлено от точки D к центру O, то есть горизонтально влево. Модуль $a_D = v^2/R$.

Точка B (левая точка):

Скорость: $\vec{v}_B = \vec{v} + \vec{v}_{вр}$. Вектор $\vec{v}$ направлен горизонтально вправо, а вектор $\vec{v}_{вр}$ направлен тангенциально, то есть вертикально вверх. Модуль результирующей скорости равен $v_B = \sqrt{v^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}$. Вектор скорости направлен под углом $45^\circ$ к горизонту вверх.

Ускорение: $\vec{a}_B = \vec{a}_O + \vec{a}_{ц}$. Центростремительное ускорение направлено от точки B к центру O, то есть горизонтально вправо. Модуль $a_B = v^2/R$.

Ответ:

• Точка A: скорость $v_A = 0$; ускорение $a_A = v^2/R$ направлено вертикально вверх (к центру диска).
• Точка B: скорость $v_B = v\sqrt{2}$ направлена под углом $45^\circ$ вверх к горизонту; ускорение $a_B = v^2/R$ направлено горизонтально вправо (к центру диска).
• Точка C: скорость $v_C = 2v$ направлена горизонтально вправо; ускорение $a_C = v^2/R$ направлено вертикально вниз (к центру диска).
• Точка D: скорость $v_D = v\sqrt{2}$ направлена под углом $45^\circ$ вниз к горизонту; ускорение $a_D = v^2/R$ направлено горизонтально влево (к центру диска).

б) Найдем точки, скорость которых по модулю равна $\text{v}$.

Поскольку точка A в каждый момент времени неподвижна, то движение всего диска можно рассматривать как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку A. Угловая скорость этого вращения равна $\omega = v/R$.

Скорость любой точки P диска в этом случае определяется как $v_P = \omega \cdot d_{AP}$, где $d_{AP}$ — расстояние от точки P до мгновенной оси вращения A.

Скорость центра O равна $v_O = v$. По формуле для вращения вокруг A, $v_O = \omega \cdot d_{AO} = \omega R$. Это совпадает с исходными данными $v=\omega R$.

Мы ищем точки P, для которых $v_P = v$. Подставляя в формулу, получаем:

$v = \omega \cdot d_{AP}$

Так как $v=\omega R$, то:

$\omega R = \omega \cdot d_{AP}$

Отсюда следует, что $d_{AP} = R$.

Это означает, что все точки диска, находящиеся на расстоянии $\text{R}$ от точки касания A, имеют скорость, равную по модулю $\text{v}$. Геометрически, множество таких точек — это окружность радиусом $\text{R}$ с центром в точке A.

Ответ: Точки диска, имеющие ту же по модулю скорость, что и центр диска O, лежат на окружности радиусом $\text{R}$, центр которой находится в точке касания диска с дорогой (точка A).