Номер 1.62, страница 12 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.62, страница 12.

Условие.

1.62** Четыре черепахи находятся в углах квадрата со стороной $\text{a}$ и начинают двигаться одновременно с одинаковой и постоянной по модулю скоростью $\text{v}$. При этом первая черепаха все время держит курс на вторую, вторая — на третью, тре-тья — на четвертую, четвертая — на первую. Через какое время $\text{t}$ черепахи встретятся? Ответьте на этот же вопрос для трех черепах, находящихся первоначально в углах равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$.

Решение.

Решение 2.

Четыре черепахи в углах квадрата

Дано

Сторона квадрата: $\text{a}$
Скорость черепах: $\text{v}$

Найти:

Время встречи: $\text{t}$

Решение

Рассмотрим движение двух соседних черепах, например, первой и второй. Первая черепаха всегда движется по направлению ко второй, а вторая — к третьей. Из-за полной симметрии задачи, в любой момент времени черепахи будут образовывать квадрат, который одновременно сжимается и поворачивается. Они встретятся в центре исходного квадрата.

Ключевым для решения является нахождение скорости сближения двух любых соседних черепах. Эта скорость будет постоянной на протяжении всего движения. Скорость сближения — это скорость, с которой уменьшается расстояние между ними. Она равна проекции их относительной скорости на прямую, их соединяющую.

Пусть черепаха 1 преследует черепаху 2. Скорость черепахи 1 ($\vec{v_1}$) направлена точно на черепаху 2. Скорость черепахи 2 ($\vec{v_2}$) направлена на черепаху 3. Поскольку в любой момент времени они образуют квадрат, вектор скорости $\vec{v_2}$ перпендикулярен прямой, соединяющей черепах 1 и 2 (угол между сторонами квадрата равен $90^\circ$).

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна компоненте скорости первой черепахи, направленной ко второй (это вся её скорость $\text{v}$), минус компонента скорости второй черепахи, направленная от первой. Проекция скорости второй черепахи на прямую, соединяющую её с первой, равна $v \cdot \cos(90^\circ) = 0$.

Таким образом, скорость сближения черепах постоянна и равна:

$v_{сбл} = v - v \cdot \cos(90^\circ) = v - 0 = v$

Начальное расстояние между черепахами равно стороне квадрата $\text{a}$. Так как они сближаются с постоянной скоростью $\text{v}$, время до их встречи $\text{t}$ можно найти по формуле:

$t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость сближения}} = \frac{a}{v_{сбл}} = \frac{a}{v}$

Ответ: Время, через которое черепахи встретятся, равно $t = \frac{a}{v}$.

Три черепахи в углах равностороннего треугольника

Дано

Сторона треугольника: $\text{a}$
Скорость черепах: $\text{v}$

Найти:

Время встречи: $\text{t}$

Решение

Этот случай решается аналогично предыдущему. Из-за симметрии, три черепахи всегда будут находиться в вершинах равностороннего треугольника, который сжимается и поворачивается. Они встретятся в центре (центроиде) исходного треугольника.

Рассмотрим скорость сближения двух соседних черепах, 1 и 2. Черепаха 1 движется к черепахе 2, а черепаха 2 — к черепахе 3. Внутренний угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна разности проекций их скоростей на прямую, соединяющую их. Проекция скорости первой черепахи на эту прямую равна её полной скорости $\text{v}$.

Вектор скорости второй черепахи $\vec{v_2}$ (направленный к третьей черепахе) образует с прямой, соединяющей первую и вторую черепаху, угол, равный внутреннему углу треугольника, то есть $60^\circ$. Проекция скорости второй черепахи на эту прямую равна $v \cdot \cos(60^\circ)$. Этот компонент скорости направлен "вперёд" по линии движения первой черепахи, то есть он также способствует сближению с первой черепахой, если смотреть на их относительное движение в более сложной системе отсчета. Чтобы избежать путаницы, используем метод относительной скорости.

Пусть $\text{d}$ — расстояние между черепахами 1 и 2. Скорость изменения этого расстояния $\frac{dd}{dt}$ равна проекции относительной скорости $(\vec{v_2} - \vec{v_1})$ на единичный вектор $\vec{u}_{12}$, направленный от 1-й ко 2-й черепахе:

$\frac{dd}{dt} = (\vec{v_2} - \vec{v_1}) \cdot \vec{u}_{12} = (\vec{v_2} \cdot \vec{u}_{12}) - (\vec{v_1} \cdot \vec{u}_{12})$

Поскольку $\vec{v_1}$ направлена вдоль $\vec{u}_{12}$, то $\vec{v_1} \cdot \vec{u}_{12} = v$.

Вектор $\vec{v_2}$ направлен от 2-й к 3-й черепахе. Угол между векторами $\vec{u}_{12}$ (направление от 1 к 2) и $\vec{v_2}$ (направление от 2 к 3) составляет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Тогда проекция $\vec{v_2}$ на направление $\vec{u}_{12}$ равна:

$\vec{v_2} \cdot \vec{u}_{12} = |\vec{v_2}| \cos(120^\circ) = v \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{v}{2}$

Скорость изменения расстояния равна:

$\frac{dd}{dt} = -\frac{v}{2} - v = -\frac{3v}{2}$

Знак "минус" означает, что расстояние сокращается. Скорость сближения $v_{сбл}$ — это модуль этой величины:

$v_{сбл} = \frac{3v}{2}$

Эта скорость сближения постоянна. Начальное расстояние между черепахами равно $\text{a}$. Тогда время до встречи $\text{t}$ равно:

$t = \frac{a}{v_{сбл}} = \frac{a}{3v/2} = \frac{2a}{3v}$

Ответ: Время, через которое черепахи встретятся, равно $t = \frac{2a}{3v}$.