Номер 1.64, страница 13 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.64, страница 13.

Условие.

1.64**. Через какое время $\text{t}$ лиса догонит зайца (см. задачу 1.63), если скорость лисы $\text{u}$ превышает скорость зайца $\text{v}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость лисы: $\text{u}$

Скорость зайца: $\text{v}$

Условие погони: $u > v$

Начальное расстояние от лисы до траектории движения зайца: $\text{L}$

В начальный момент времени лиса находится на перпендикуляре к траектории зайца, восстановленном из начального положения зайца.

Найти:

Время погони: $\text{t}$

Решение:

Введем систему координат. Пусть заяц в начальный момент времени ($t=0$) находится в начале координат $O(0,0)$ и движется вдоль оси $\text{Ox}$. Тогда его положение в любой момент времени $\text{t}$ описывается вектором $\vec{r}_z = (vt, 0)$.

Лиса в начальный момент времени находится в точке с координатами $(0, L)$. Её положение в момент времени $\text{t}$ будем описывать вектором $\vec{r}_l = (x_l(t), y_l(t))$. Скорость лисы $\vec{u}$ постоянна по модулю ($|\vec{u}|=u$) и всегда направлена на зайца.

Рассмотрим относительное движение. Введем вектор $\vec{s} = \vec{r}_z - \vec{r}_l$, направленный от лисы к зайцу. Его модуль $s=|\vec{s}|$ — это расстояние между ними, а его направление задается углом $\theta$ с осью $\text{Ox}$.

Скорость изменения расстояния $\text{s}$ равна проекции относительной скорости $\vec{v}_{отн} = \vec{v} - \vec{u}$ на направление вектора $\vec{s}$:

$\frac{ds}{dt} = \vec{v}_{отн} \cdot \frac{\vec{s}}{s} = (\vec{v} - \vec{u}) \cdot \frac{\vec{s}}{s} = \vec{v} \cdot \frac{\vec{s}}{s} - \vec{u} \cdot \frac{\vec{s}}{s}$

Поскольку вектор скорости лисы $\vec{u}$ всегда направлен на зайца (т.е. сонаправлен с $\vec{s}$), то $\vec{u} \cdot \frac{\vec{s}}{s} = u$. Проекция скорости зайца на направление $\vec{s}$ равна $v \cos\theta$. Таким образом, получаем первое уравнение:

$\frac{ds}{dt} = v \cos\theta - u$

Второе уравнение описывает изменение угла $\theta$. Угол линии визирования «лиса-заяц» изменяется из-за составляющей скорости зайца, перпендикулярной этой линии. Эта составляющая равна $v \sin\theta$. Это приводит к угловой скорости вращения вектора $\vec{s}$:

$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{v \sin\theta}{s}$

Мы получили систему из двух дифференциальных уравнений. Чтобы найти траекторию относительного движения, исключим время $\text{dt}$, разделив одно уравнение на другое:

$\frac{ds}{d\theta} = \frac{v \cos\theta - u}{-v \sin\theta / s} = s \frac{u - v \cos\theta}{v \sin\theta}$

Разделим переменные:

$\frac{ds}{s} = \frac{u - v \cos\theta}{v \sin\theta} d\theta = \left(\frac{u}{v \sin\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right) d\theta$

Интегрируя это уравнение, находим зависимость $s(\theta)$:

$\ln s = \frac{u}{v} \ln|\tan(\frac{\theta}{2})| - \ln|\sin\theta| + C_{int}$

$s(\theta) = C \frac{|\tan(\theta/2)|^{u/v}}{|\sin\theta|}$

Константу интегрирования $\text{C}$ найдем из начальных условий. В момент $t=0$ заяц находится в $(0,0)$, а лиса в $(0,L)$. Вектор $\vec{s}(0)$ направлен от $(0,L)$ к $(0,0)$, то есть $\vec{s}(0)=(0, -L)$. Расстояние $s(0)=L$, а угол $\theta(0) = -\frac{\pi}{2}$. Подставляем:

$L = C \frac{|\tan(-\pi/4)|^{u/v}}{|\sin(-\pi/2)|} = C \frac{|-1|^{u/v}}{|-1|} = C$

Итак, $s(\theta) = L \frac{|\tan(\theta/2)|^{u/v}}{|\sin\theta|}$.

Погоня закончится, когда $s=0$. Это произойдет, когда $\tan(\theta/2) \to 0$, то есть при $\theta \to 0$. Время погони $\text{t}$ можно найти, проинтегрировав выражение для $\text{dt}$, полученное из второго уравнения системы:

$dt = -\frac{s}{v \sin\theta} d\theta$

$t = \int_0^t dt' = \int_{-\pi/2}^0 -\frac{s(\theta)}{v \sin\theta} d\theta$

В диапазоне интегрирования $\theta \in [-\pi/2, 0)$, имеем $\sin\theta < 0$ и $\tan(\theta/2) < 0$. Поэтому $|\sin\theta| = -\sin\theta$ и $|\tan(\theta/2)| = -\tan(\theta/2)$.

$t = \int_{-\pi/2}^0 -\frac{L}{v \sin\theta} \frac{(-\tan(\theta/2))^{u/v}}{-\sin\theta} d\theta = \frac{L}{v} \int_{-\pi/2}^0 \frac{(-\tan(\theta/2))^{u/v}}{\sin^2\theta} d\theta$

Сделаем замену переменной $x = -\tan(\theta/2)$. Тогда при $\theta \to -\pi/2$, $x \to 1$; при $\theta \to 0$, $x \to 0$. Также $d\theta = -\frac{2dx}{1+x^2}$ и $\sin\theta = \frac{-2x}{1+x^2}$.

Интеграл преобразуется к виду:

$t = \frac{L}{v} \int_1^0 \frac{x^{u/v}}{4x^2 / (1+x^2)^2} \left(-\frac{2dx}{1+x^2}\right) = \frac{L}{2v} \int_0^1 \frac{x^{u/v}(1+x^2)}{x^2} dx$

Обозначим $k=u/v$. Так как $u>v$, то $k>1$.

$t = \frac{L}{2v} \int_0^1 (x^{k-2} + x^k) dx = \frac{L}{2v} \left[ \frac{x^{k-1}}{k-1} + \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1$

Поскольку $k>1$, первообразная в нуле равна нулю. В верхнем пределе получаем:

$t = \frac{L}{2v} \left(\frac{1}{k-1} + \frac{1}{k+1}\right) = \frac{L}{2v} \frac{k+1+k-1}{k^2-1} = \frac{L}{2v} \frac{2k}{k^2-1} = \frac{Lk}{v(k^2-1)}$

Подставляя обратно $k=u/v$:

$t = \frac{L(u/v)}{v((u/v)^2-1)} = \frac{Lu/v}{v(u^2-v^2)/v^2} = \frac{Lu/v}{(u^2-v^2)/v} = \frac{Lu}{u^2-v^2}$

Ответ:

$t = \frac{Lu}{u^2-v^2}$