Номер 2.2, страница 14 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.2, страница 14.

Условие.

2.2. Автомобиль массой $m = 3,3$ т проходит со скоростью $v = 54$ км/ч по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности радиусом $R = 75$ м. С какой силой автомобиль давит на мост в верхней точке? С какой силой автомобиль давил бы в нижней точке на вогнутый мост с таким же радиусом кривизны?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса автомобиля, $m = 3.3 \text{ т} = 3300 \text{ кг}$
Скорость автомобиля, $v = 54 \text{ км/ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$
Радиус кривизны моста, $R = 75 \text{ м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Силу давления на выпуклый мост в верхней точке - $P_1$
Силу давления на вогнутый мост в нижней точке - $P_2$

Решение:

Сила, с которой автомобиль давит на мост, называется весом автомобиля $\text{P}$. По третьему закону Ньютона, вес $\text{P}$ по модулю равен силе нормальной реакции опоры $\text{N}$, действующей на автомобиль со стороны моста: $P = N$.

С какой силой автомобиль давит на мост в верхней точке?

Когда автомобиль находится в верхней точке выпуклого моста, на него действуют две силы: сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N_1$, направленная вертикально вверх. Автомобиль движется по дуге окружности, следовательно, у него есть центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру окружности, то есть вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив её вниз:$mg - N_1 = m \cdot a_ц$

Центростремительное ускорение равно $a_ц = \frac{v^2}{R}$. Подставим его в уравнение:$mg - N_1 = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда выразим силу реакции опоры $N_1$:$N_1 = mg - m \frac{v^2}{R} = m(g - \frac{v^2}{R})$

Сила давления $P_1$ равна силе реакции опоры $N_1$. Рассчитаем её значение:$P_1 = 3300 \text{ кг} \cdot (9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{(15 \text{ м/с})^2}{75 \text{ м}}) = 3300 \cdot (9.8 - \frac{225}{75}) = 3300 \cdot (9.8 - 3) = 3300 \cdot 6.8 = 22440 \text{ Н}$

Выразим ответ в килоньютонах и округлим до двух значащих цифр, как в исходных данных: $22440 \text{ Н} \approx 22 \text{ кН}$.

Ответ: $22 \text{ кН}$.

С какой силой автомобиль давил бы в нижней точке на вогнутый мост с таким же радиусом кривизны?

Когда автомобиль находится в нижней точке вогнутого моста, на него также действуют сила тяжести $\text{mg}$ (вниз) и сила реакции опоры $N_2$ (вверх). В этом случае центростремительное ускорение $a_ц$ направлено к центру окружности, то есть вертикально вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив её вверх:$N_2 - mg = m \cdot a_ц$

Подставим выражение для центростремительного ускорения $a_ц = \frac{v^2}{R}$:$N_2 - mg = m \frac{v^2}{R}$

Выразим силу реакции опоры $N_2$:$N_2 = mg + m \frac{v^2}{R} = m(g + \frac{v^2}{R})$

Сила давления $P_2$ равна силе реакции опоры $N_2$. Рассчитаем её значение:$P_2 = 3300 \text{ кг} \cdot (9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + \frac{(15 \text{ м/с})^2}{75 \text{ м}}) = 3300 \cdot (9.8 + \frac{225}{75}) = 3300 \cdot (9.8 + 3) = 3300 \cdot 12.8 = 42240 \text{ Н}$

Выразим ответ в килоньютонах и округлим до двух значащих цифр: $42240 \text{ Н} \approx 42 \text{ кН}$.

Ответ: $42 \text{ кН}$.