Номер 1.68, страница 13 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.68, страница 13.

Условие.

1.68*. С какой скоростью $\text{v}$ должен ехать автомобиль, чтобы сорвавшийся с его колеса в точке $\text{A}$ камешек (см. рисунок) попал в ту же точку колеса, от которой оторвался? Радиус колеса $R = 20$ см.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус колеса $R = 20$ см.

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$.

В систему СИ:

$R = 0.2$ м.

Найти:

Скорость автомобиля $\text{v}$.

Решение:

Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с землей. Введем систему координат, в которой ось $\text{Ox}$ направлена по ходу движения автомобиля, а ось $\text{Oy}$ — вертикально вверх. Пусть в начальный момент времени $t=0$, когда камешек отрывается от колеса в точке А, центр колеса находится в точке с координатами $(0, R)$. Тогда точка А, находящаяся в крайнем левом положении, имеет координаты $x_0 = -R, y_0 = R$.

Скорость камешка в момент отрыва $v⃗_0$ является векторной суммой скорости поступательного движения центра колеса $v⃗_ц$ и скорости вращательного движения точки А вокруг центра $v⃗_{вр}$.

Скорость центра колеса направлена горизонтально: $v⃗_ц = (v, 0)$.

Колесо катится без проскальзывания, поэтому его угловая скорость связана со скоростью поступательного движения как $ω = v/R$. Движение автомобиля вправо означает, что колесо вращается по часовой стрелке. Для точки А, находящейся в крайнем левом положении, вектор скорости вращательного движения $v⃗_{вр}$ направлен вертикально вверх, а его модуль равен $v_{вр} = ωR = v$. Таким образом, $v⃗_{вр} = (0, v)$.

Полная начальная скорость камешка:

$v⃗_0 = v⃗_ц + v⃗_{вр} = (v, 0) + (0, v) = (v, v)$.

После отрыва камешек движется как тело, брошенное под углом к горизонту, с начальными координатами $(x_0, y_0)$ и начальной скоростью $(v_x, v_y) = (v, v)$. Уравнения движения камешка (индекс "к"):

$x_к(t) = x_0 + v_x t = -R + vt$

$y_к(t) = y_0 + v_y t - \frac{gt^2}{2} = R + vt - \frac{gt^2}{2}$

Теперь найдем координаты точки А на колесе (индекс "А") в произвольный момент времени $\text{t}$. Центр колеса перемещается по закону $(vt, R)$. Точка А вращается вокруг центра. Ее положение относительно центра колеса в момент $\text{t}$ можно описать координатами $x_{А_{отн}}(t) = -R \cos(ωt)$ и $y_{А_{отн}}(t) = R \sin(ωt)$.

Следовательно, абсолютные координаты точки А в момент времени $\text{t}$:

$x_А(t) = vt + x_{А_{отн}}(t) = vt - R \cos(ωt)$

$y_А(t) = R + y_{А_{отн}}(t) = R + R \sin(ωt)$

По условию задачи, камешек должен снова попасть в точку А. Это означает, что в некоторый момент времени $t > 0$ их координаты должны совпасть:

$x_к(t) = x_А(t)$

$y_к(t) = y_А(t)$

Приравнивая выражения для $\text{x}$-координат:

$-R + vt = vt - R \cos(ωt)$

$-R = -R \cos(ωt)$

$\cos(ωt) = 1$

Это равенство выполняется, когда колесо совершает целое число оборотов, то есть $ωt = 2πk$, где $\text{k}$ — целое положительное число ($k=1, 2, 3, ...$).

При выполнении этого условия $\sin(ωt) = \sin(2πk) = 0$.

Теперь приравняем выражения для $\text{y}$-координат, подставив в них $\sin(ωt)=0$:

$R + vt - \frac{gt^2}{2} = R + R \sin(ωt)$

$vt - \frac{gt^2}{2} = 0$

$t(v - \frac{gt}{2}) = 0$

Поскольку нас интересует момент времени $t > 0$, решением является:

$v - \frac{gt}{2} = 0 \implies t = \frac{2v}{g}$

Мы получили два выражения, связывающих время полета $\text{t}$ с другими параметрами. Приравняем их, используя связь $ω=v/R$:

$ωt = 2πk \implies \frac{v}{R} \cdot t = 2πk$

Подставим сюда найденное выражение для $\text{t}$:

$\frac{v}{R} \cdot \frac{2v}{g} = 2πk$

$\frac{2v^2}{Rg} = 2πk$

$v^2 = πkRg$

$v = \sqrt{πkRg}$

Скорость $\text{v}$ будет минимальной при наименьшем возможном $\text{k}$, то есть при $k=1$ (камешек попадает в точку А после одного полного оборота колеса).

$v = \sqrt{πRg}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{π \cdot 0.2 \text{ м} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \sqrt{1.96π} \text{ м/с} = 1.4\sqrt{π} \text{ м/с}$

$v \approx 1.4 \cdot 1.772 \approx 2.48 \text{ м/с}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $v \approx 2.5 \text{ м/с}$.

Ответ: $v = 1.4\sqrt{π} \text{ м/с} \approx 2.5 \text{ м/с}$.