Номер 1.66, страница 13 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.66, страница 13.

Условие.

1.66*. Мальчик бьет по футбольному мячу, лежащему на расстоянии $l = 3$ м от высокой стены; мяч приобретает скорость $v_0 = 10$ м/с под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту. Когда происходит удар мяча о стену — при подъеме или спуске? Чему равна высота $\text{h}$ и скорость $\text{v}$ мяча при ударе? Где упадет мяч? Удар мяча о стену считайте упругим, траектория мяча лежит в плоскости, перпендикулярной стене.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 3$ м

$v_0 = 10$ м/с

$\alpha = 45^\circ$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

1. Когда происходит удар: на подъеме или на спуске?

2. Высоту $\text{h}$ и скорость $\text{v}$ при ударе.

3. Место падения мяча.

Решение:

Введем систему координат: ось Ox направим горизонтально от точки удара к стене, ось Oy — вертикально вверх. Начало координат (0,0) — в точке, где мальчик ударил по мячу.

Запишем уравнения движения мяча:

Координаты:

$x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(\alpha) t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Проекции скорости:

$v_x(t) = v_0 \cos(\alpha)$

$v_y(t) = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Найдем начальные проекции скорости:

$v_{0x} = 10 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$ м/с

$v_{0y} = 10 \cdot \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$ м/с

Когда происходит удар мяча о стену — при подъеме или спуске?

Сначала определим время полета мяча до стены ($t_1$). В этот момент координата $\text{x}$ мяча равна расстоянию до стены $\text{l}$.

$l = v_{0x} t_1 \implies t_1 = \frac{l}{v_{0x}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{10} \approx 0.424$ с.

Теперь найдем время подъема мяча до максимальной высоты ($t_{подъема}$). В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю ($v_y = 0$).

$v_y(t_{подъема}) = v_{0y} - g t_{подъема} = 0 \implies t_{подъема} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{5\sqrt{2}}{9.8} \approx \frac{7.07}{9.8} \approx 0.722$ с.

Сравним время полета до стены $t_1$ и время подъема $t_{подъема}$:

$t_1 \approx 0.424$ с, $t_{подъема} \approx 0.722$ с.

Так как $t_1 < t_{подъема}$, мяч ударяется о стену до того, как достигает максимальной высоты, то есть на подъеме.

Ответ: Удар мяча о стену происходит при подъеме.

Чему равна высота h и скорость v мяча при ударе?

Высоту удара $\text{h}$ найдем, подставив время $t_1$ в уравнение для координаты $\text{y}$:

$h = y(t_1) = v_{0y} t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = (5\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{3}{5\sqrt{2}}\right) - \frac{9.8}{2} \cdot \left(\frac{3}{5\sqrt{2}}\right)^2 = 3 - 4.9 \cdot \frac{9}{50} = 3 - 4.9 \cdot 0.18 = 3 - 0.882 = 2.118$ м.

Для нахождения скорости $\text{v}$ в момент удара найдем ее проекции на оси в момент времени $t_1$:

$v_x(t_1) = v_{0x} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$ м/с

$v_y(t_1) = v_{0y} - gt_1 = 5\sqrt{2} - 9.8 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{10} = 5\sqrt{2} - 2.94\sqrt{2} = 2.06\sqrt{2} \approx 2.91$ м/с.

Модуль скорости $\text{v}$ найдем по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x(t_1)^2 + v_y(t_1)^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (2.06\sqrt{2})^2} = \sqrt{50 + 2.06^2 \cdot 2} = \sqrt{50 + 8.4872} = \sqrt{58.4872} \approx 7.65$ м/с.

Ответ: Высота удара $h \approx 2.12$ м, скорость мяча при ударе $v \approx 7.65$ м/с.

Где упадет мяч?

Удар о стену упругий. Это означает, что вертикальная составляющая скорости $v_y$ не изменится, а горизонтальная $v_x$ изменит направление на противоположное, сохранив свою величину.

Скорость сразу после отскока:

$v_x' = -v_x(t_1) = -5\sqrt{2}$ м/с

$v_y' = v_y(t_1) = 2.06\sqrt{2}$ м/с

Дальнейшее движение мяча можно рассматривать как полет тела, брошенного из точки с координатами ($l, h$) с начальной скоростью ($v_x', v_y'$).

Другой, более простой способ, заключается в "зеркальном отражении" траектории. Если бы стены не было, мяч продолжил бы лететь по параболе. Дальность полета $\text{R}$ без стены равна:

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{10^2 \cdot \sin(2 \cdot 45^\circ)}{9.8} = \frac{100 \cdot \sin(90^\circ)}{9.8} = \frac{100}{9.8} \approx 10.2$ м.

Мяч пролетел до стены расстояние $l=3$ м. После упругого отскока он пролетит в обратном направлении такое же расстояние, какое пролетел бы дальше, если бы стены не было. Это расстояние равно $R-l$.

Место падения мяча $x_{пад}$ можно найти, "отразив" оставшуюся часть пути от стены:

$x_{пад} = l - (R-l) = 2l - R = 2 \cdot 3 - 10.2 = 6 - 10.2 = -4.2$ м.

Знак "минус" означает, что мяч упадет по другую сторону от точки удара (не в сторону стены). Таким образом, мяч упадет на расстоянии 4.2 м от места первоначального удара в направлении, противоположном стене.

Ответ: Мяч упадет на расстоянии 4.2 м от первоначальной точки удара в сторону, противоположную стене.