Номер 1.65, страница 13 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.65, страница 13.

Условие.

1.65*. На шкив радиусом $R = 20 \text{ см}$ намотана нить, к которой подвешен груз (см. рисунок). Груз отпускают без начальной скорости, и он опускается с постоянным ускорением $a = 2 \text{ см/с}^2$. Какова угловая скорость $\omega$ шкива в тот момент, когда груз прошел путь $s = 1 \text{ м}$? Найдите также ускорение $a_A$ точки А в этот момент.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R = 20$ см

$v_0 = 0$

$a = 2$ см/с²

$s = 1$ м

Перевод в систему СИ:
$R = 0.2$ м
$a = 0.02$ м/с²
$s = 1$ м

Найти:

$\omega$ - ?

$a_A$ - ?

Решение:

Какова угловая скорость ω шкива в тот момент, когда груз прошел путь s = 1 м?

Поскольку груз движется из состояния покоя ($v_0 = 0$) с постоянным ускорением $\text{a}$, его скорость $\text{v}$ после прохождения пути $\text{s}$ можно найти по формуле:

$v^2 = v_0^2 + 2as = 2as$

Подставим значения в системе СИ:

$v = \sqrt{2as} = \sqrt{2 \cdot 0.02 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}} = \sqrt{0.04 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 0.2 \text{ м/с}$

Учитывая, что нить не проскальзывает по шкиву, линейная скорость точек на ободе шкива равна скорости груза. Связь между линейной скоростью $\text{v}$ и угловой скоростью $\omega$ для точек на расстоянии $\text{R}$ от оси вращения:

$v = \omega R$

Отсюда находим угловую скорость:

$\omega = \frac{v}{R} = \frac{0.2 \text{ м/с}}{0.2 \text{ м}} = 1 \text{ рад/с}$

Ответ: $\omega = 1 \text{ рад/с}$.

Найдите также ускорение a_A точки А в этот момент.

Полное ускорение $a_A$ точки А на ободе шкива является векторной суммой тангенциального (касательного) ускорения $a_\tau$ и нормального (центростремительного) ускорения $a_n$.

Тангенциальное ускорение точек на ободе шкива равно линейному ускорению груза (так как шкив раскручивается с постоянным угловым ускорением):

$a_\tau = a = 0.02 \text{ м/с}^2$

Нормальное ускорение направлено к центру шкива и зависит от мгновенной линейной скорости $\text{v}$:

$a_n = \frac{v^2}{R}$

Используя найденное ранее значение скорости $v = 0.2$ м/с:

$a_n = \frac{(0.2 \text{ м/с})^2}{0.2 \text{ м}} = \frac{0.04 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.2 \text{ м}} = 0.2 \text{ м/с}^2$

Векторы тангенциального и нормального ускорений взаимно перпендикулярны. Для точки А в нижней части шкива тангенциальное ускорение направлено горизонтально, а нормальное — вертикально вверх. Модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

$a_A = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{(0.02 \text{ м/с}^2)^2 + (0.2 \text{ м/с}^2)^2} = \sqrt{0.0004 + 0.04} \text{ м/с}^2 = \sqrt{0.0404} \text{ м/с}^2 \approx 0.201 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_A \approx 0.201 \text{ м/с}^2$.