Номер 1.63, страница 13 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.63, страница 13.

Условие.

1.63**. Однажды на охоте я наблюдал такую сцену. Беспечный заяц, ничего вокруг не замечая, бежал с постоянной скоростью по прямой тропинке вдоль поля, а на поле на расстоянии $\text{L}$ от тропинки сидела голодная лиса. Она увидела зайца, когда он находился в ближайшей к ней точке тропинки, и тут же пустилась в погоню. Со свойственной мне наблюдательностью я заметил, что лиса бежала с такой же по величине скоростью, что и заяц, и при этом все время «держала курс» на зайца. Через некоторое время расстояние между лисой и зайцем практически перестало изменяться. Каким стало это расстояние?

Решение.

Решение 2.

Дано

Скорость зайца: $v_з = v$

Скорость лисы: $v_л = v$

Начальное расстояние от лисы до тропинки: $\text{L}$

В начальный момент времени заяц находится в ближайшей к лисе точке тропинки.

Лиса все время бежит по направлению к зайцу.

В системе СИ расстояние $\text{L}$ измеряется в метрах (м), скорость $\text{v}$ - в метрах в секунду (м/с).

Найти:

Конечное расстояние $d_f$ между лисой и зайцем.

Решение

Введем систему координат. Пусть тропинка зайца совпадает с осью $\text{Ox}$, а в начальный момент времени $t=0$ заяц находится в начале координат $(0,0)$. Тогда его положение в любой момент времени $\text{t}$ описывается вектором $\vec{r}_з = (vt, 0)$. Поскольку заяц вначале находился в ближайшей к лисе точке, начальное положение лисы было на перпендикуляре к тропинке, то есть на оси $\text{Oy}$. Пусть ее начальные координаты будут $(0, L)$. Таким образом, начальное расстояние между ними действительно равно $\text{L}$.

Пусть в некоторый момент времени $\text{t}$ расстояние между лисой и зайцем равно $\text{d}$, а вектор скорости зайца $\vec{v}_з$ составляет угол $\phi$ с прямой, соединяющей лису и зайца (линией визирования).

Скорость изменения расстояния $\text{d}$ между двумя объектами равна проекции их относительной скорости на линию, их соединяющую. Относительная скорость равна $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_з - \vec{v}_л$.

Найдем проекцию относительной скорости на линию визирования. Вектор скорости лисы $\vec{v}_л$ по условию всегда направлен на зайца, то есть вдоль линии визирования. Его проекция на это направление равна его модулю $\text{v}$. Вектор скорости зайца $\vec{v}_з$ составляет угол $\phi$ с линией визирования, поэтому его проекция на это направление равна $v \cos\phi$. Таким образом, скорость сближения (или изменения расстояния) равна:

$\frac{dd}{dt} = v_з \cos\phi - v_л = v \cos\phi - v = v(\cos\phi - 1)$

По условию, через некоторое время расстояние между лисой и зайцем практически перестало изменяться. Это означает, что скорость изменения расстояния стала равной нулю:

$\frac{dd}{dt} \to 0$

Из уравнения для $\frac{dd}{dt}$ следует, что $v(\cos\phi - 1) \to 0$. Так как скорость $v \ne 0$, то должно выполняться условие $\cos\phi \to 1$, что соответствует $\phi \to 0$. Это означает, что в конечном состоянии лиса будет бежать практически параллельно зайцу, находясь позади него, а линия визирования будет почти параллельна тропинке.

Теперь рассмотрим, как изменяется угол $\phi$. Его изменение вызвано составляющей относительной скорости, перпендикулярной линии визирования. Скорость лисы направлена вдоль линии визирования, поэтому ее перпендикулярная составляющая равна нулю. Перпендикулярная составляющая скорости зайца равна $v \sin\phi$. Эта скорость вращает линию визирования длиной $\text{d}$ с угловой скоростью $\frac{d\phi}{dt}$. Поэтому:

$d \frac{d\phi}{dt} = -v \sin\phi$

Знак минус указывает на то, что угол $\phi$ уменьшается со временем (если изначально он был $\pi/2$).

Мы получили систему из двух дифференциальных уравнений:

1) $\frac{dd}{dt} = v(\cos\phi - 1)$

2) $\frac{d\phi}{dt} = -\frac{v \sin\phi}{d}$

Чтобы найти связь между $\text{d}$ и $\phi$, исключим время $\text{dt}$, разделив первое уравнение на второе:

$\frac{dd}{d\phi} = \frac{v(\cos\phi - 1)}{-v \sin\phi / d} = \frac{d(1 - \cos\phi)}{\sin\phi}$

Разделим переменные:

$\frac{dd}{d} = \frac{1 - \cos\phi}{\sin\phi} d\phi$

Интегрируем обе части. Для левой части $\int \frac{dd}{d} = \ln d$. Для правой части используем формулы двойного угла: $1 - \cos\phi = 2\sin^2(\phi/2)$ и $\sin\phi = 2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)$.

$\int \frac{2\sin^2(\phi/2)}{2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)} d\phi = \int \tan(\phi/2) d\phi = -2 \ln|\cos(\phi/2)| + C_1$

Таким образом, $\ln d = -2 \ln|\cos(\phi/2)| + C_1 = \ln\left(\frac{1}{\cos^2(\phi/2)}\right) + C_1$.

Используя формулу $1 + \cos\phi = 2\cos^2(\phi/2)$, получаем:

$\ln d = \ln\left(\frac{2}{1+\cos\phi}\right) + C_1 \implies d = \frac{K}{1+\cos\phi}$, где $\text{K}$ - новая константа.

Отсюда мы получаем инвариант движения: $d(1+\cos\phi) = K$.

Найдем константу $\text{K}$ из начальных условий. В момент $t=0$:

Расстояние $d(0) = L$.

Вектор скорости зайца $\vec{v}_з$ направлен вдоль тропинки (оси $\text{Ox}$). Линия, соединяющая лису и зайца, перпендикулярна тропинке (направлена вдоль оси $\text{Oy}$). Следовательно, угол между ними $\phi(0) = \pi/2$, и $\cos\phi(0) = 0$.

Подставляем эти значения в инвариант:

$K = d(0)(1+\cos\phi(0)) = L(1+0) = L$.

Таким образом, на протяжении всей погони сохраняется соотношение:

$d(1+\cos\phi) = L$

Теперь найдем конечное расстояние $d_f$. Как мы установили, в конечном состоянии, когда расстояние перестает меняться, угол $\phi \to 0$, и следовательно, $\cos\phi \to 1$. Подставим эти предельные значения в наше соотношение:

$d_f(1+1) = L$

$2d_f = L$

$d_f = \frac{L}{2}$

Ответ: Конечное расстояние между лисой и зайцем стало равно $L/2$.