Номер 1.60, страница 12 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.60, страница 12.

Условие.

1.60*. Два автомобиля движутся друг за другом со скоростью $v = 72 \text{ км/ч}$. При каком расстоянии $\text{l}$ между ними камешек, застрявший между сдвоенными шинами переднего автомобиля, не может попасть в задний автомобиль?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v = 72 \text{ км/ч}$

Перевод в систему СИ:

$v = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$\text{l}$ — расстояние, при котором камешек не попадет в задний автомобиль.

Решение:

Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с движущимися автомобилями. Поскольку автомобили движутся с постоянной скоростью, эта система отсчета является инерциальной. В этой системе отсчета задний автомобиль покоится на расстоянии $\text{l}$ от переднего. Камешек, вылетая из-под колеса переднего автомобиля, движется относительно него.

Из условия качения колеса без проскальзывания следует, что линейная скорость точек на ободе колеса относительно его оси равна скорости движения автомобиля $\text{v}$. Когда камешек отрывается от шины, его начальная скорость относительно автомобиля (и дороги) по модулю равна $\text{v}$. Направление этой скорости может быть любым, так как камешек может вылететь из любой точки вращающегося колеса.

После отрыва камешек движется как тело, брошенное с некоторой начальной скоростью $\text{v}$ под некоторым углом к горизонту. Его движение является движением по параболе под действием силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Чтобы камешек не попал в задний автомобиль, расстояние $\text{l}$ между автомобилями должно быть больше, чем максимальная дальность полета камешка $L_{max}$ в этой системе отсчета.

Дальность полета тела, брошенного со скоростью $\text{v}$ под углом $\beta$ к горизонту, зависит от высоты броска $\text{h}$. Камешек вылетает с колеса радиусом $\text{R}$, поэтому высота броска $\text{h}$ может меняться от $\text{0}$ до $\text{2R}$. Однако в условии задачи радиус колеса $\text{R}$ не указан. Для легкового автомобиля $R \approx 0,3-0,4 \text{ м}$, а скорость $v=20 \text{ м/с}$. Величина $v^2/g \approx 40 \text{ м}$ значительно больше, чем $\text{R}$. Это позволяет пренебречь начальной высотой вылета камешка и считать, что он вылетает с уровня земли ($h=0$).

В этом приближении дальность полета тела определяется по формуле:

$L = \frac{v^2 \sin(2\beta)}{g}$

Максимальная дальность полета достигается при угле бросания $\beta = 45^\circ$, так как при этом значении $\sin(2\beta) = \sin(90^\circ) = 1$.

Таким образом, максимальная дальность полета камешка равна:

$L_{max} = \frac{v^2}{g}$

Подставим числовые значения:

$L_{max} = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{400}{9,8} \text{ м} \approx 40,8 \text{ м}$

Следовательно, чтобы камешек гарантированно не попал в задний автомобиль, расстояние $\text{l}$ между автомобилями должно быть больше этого значения.

$l > L_{max}$

Ответ: Расстояние между автомобилями должно быть $l > \frac{v^2}{g} \approx 40,8 \text{ м}$.