Номер 1.57, страница 12 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.57, страница 12.

Условие.

1.57*. Катушка с нитью лежит на горизонтальном столе и может катиться по нему без проскальзывания. Внутренний радиус катушки $\text{r}$, внешний $\text{R}$. С какой скоростью $\text{u}$ будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $\text{v}$? Рассмотрите два случая (см. рис. а и б).

Рис. а

Рис. б

Решение.

Решение 2.

Дано:

Внутренний радиус катушки: $\text{r}$
Внешний радиус катушки: $\text{R}$
Скорость конца нити: $\text{v}$
Условие: качение без проскальзывания.

Найти:

Скорость оси катушки: $\text{u}$.

Решение:

Поскольку катушка катится по столу без проскальзывания, точка касания катушки со столом является мгновенным центром вращения (МЦВ). Это означает, что в каждый момент времени вся катушка вращается вокруг этой точки. Обозначим угловую скорость этого вращения как $\omega$.

Скорость любой точки катушки можно найти как произведение угловой скорости $\omega$ на расстояние от этой точки до МЦВ.

Скорость оси катушки $\text{u}$ (точка O) находится на расстоянии $\text{R}$ от МЦВ, поэтому:

$u = \omega R$ (1)

Скорость конца нити $\text{v}$ равна скорости той точки катушки, с которой сходит нить. Рассмотрим оба случая.

Рис. a

В этом случае нить сходит с нижней точки внутреннего цилиндра. Эта точка находится на расстоянии $(R-r)$ от МЦВ (точки касания со столом).

Следовательно, скорость нити $\text{v}$ равна:

$v = \omega (R-r)$ (2)

Чтобы найти $\text{u}$, разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{u}{v} = \frac{\omega R}{\omega (R-r)} = \frac{R}{R-r}$

Отсюда выражаем искомую скорость $\text{u}$:

$u = v \frac{R}{R-r}$

Ответ: $u = v \frac{R}{R-r}$

Рис. б

В этом случае нить сходит с верхней точки внутреннего цилиндра. Эта точка находится на расстоянии $(R+r)$ от МЦВ.

Следовательно, скорость нити $\text{v}$ равна:

$v = \omega (R+r)$ (3)

Чтобы найти $\text{u}$, разделим уравнение (1) на уравнение (3):

$\frac{u}{v} = \frac{\omega R}{\omega (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Отсюда выражаем искомую скорость $\text{u}$:

$u = v \frac{R}{R+r}$

Ответ: $u = v \frac{R}{R+r}$