Номер 1.52, страница 11 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.52, страница 11.

Условие.

1.52*. Человек, стоя на высоком берегу, тянет находящуюся на воде лодку, выбирая веревку со скоростью $v_0$. Какую скорость $\text{v}$ будет иметь лодка в момент, когда угол между веревкой и горизонтальной плоскостью равен $\alpha$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость выбирания веревки: $v_0$

Угол между веревкой и горизонтальной плоскостью: $\alpha$

Найти:

Скорость лодки: $\text{v}$

Решение:

Обозначим длину веревки между человеком и лодкой как $\text{l}$, а горизонтальное расстояние от лодки до точки на воде прямо под человеком как $\text{x}$. Высота берега $\text{h}$ является постоянной величиной. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ l^2 = x^2 + h^2 $$

Скорость выбирания веревки $v_0$ — это скорость уменьшения ее длины $\text{l}$. Математически это можно записать как $v_0 = -\frac{dl}{dt}$. Знак минус означает, что длина $\text{l}$ со временем уменьшается.

Скорость лодки $\text{v}$ — это скорость, с которой она приближается к берегу, то есть скорость уменьшения горизонтального расстояния $\text{x}$. Таким образом, $v = -\frac{dx}{dt}$.

Чтобы найти связь между скоростями, продифференцируем уравнение теоремы Пифагора по времени $\text{t}$: $$ \frac{d}{dt}(l^2) = \frac{d}{dt}(x^2 + h^2) $$ $$ 2l \frac{dl}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 0 $$

Подставим в полученное выражение производные, выраженные через скорости $v_0$ и $\text{v}$: $$ 2l (-v_0) = 2x (-v) $$

Упростим уравнение, сократив на -2: $$ l v_0 = x v $$

Отсюда выразим искомую скорость лодки $\text{v}$: $$ v = v_0 \frac{l}{x} $$

Из геометрии задачи, для угла $\alpha$ между веревкой (гипотенузой $\text{l}$) и горизонталью (катетом $\text{x}$) справедливо тригонометрическое соотношение: $$ \cos(\alpha) = \frac{x}{l} $$

Следовательно, отношение $\frac{l}{x}$ можно выразить как: $$ \frac{l}{x} = \frac{1}{\cos(\alpha)} $$

Подставим это в выражение для скорости лодки: $$ v = \frac{v_0}{\cos(\alpha)} $$

Ответ: $v = \frac{v_0}{\cos(\alpha)}$