Номер 1.58, страница 12 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.58, страница 12.

Условие.

1.58*. Выпущенный вертикально вверх снаряд разорвался в верхней точке траектории на множество мелких осколков, разлетающихся с одинаковой по модулю начальной скоростью $v_0$ в разные стороны. Как будет меняться со временем форма «облака» из осколков?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Снаряд взрывается в верхней точке траектории, где его скорость равна нулю.

Осколки разлетаются во все стороны с одинаковой по модулю начальной скоростью $v_0$.

Найти:

Как будет меняться со временем форма «облака» из осколков?

Решение

В верхней точке траектории скорость снаряда равна нулю. Выберем начало отсчета в точке взрыва. Ось $\text{OY}$ направим вертикально вверх, а оси $\text{OX}$ и $\text{OZ}$ - горизонтально.

В момент времени $t=0$ (момент взрыва) все осколки находятся в начале координат, $\vec{r}_0 = (0, 0, 0)$. Начальная скорость любого осколка имеет компоненты $\vec{v}_0 = (v_{0x}, v_{0y}, v_{0z})$, причем по условию модуль скорости для всех осколков одинаков:

$v_{0x}^2 + v_{0y}^2 + v_{0z}^2 = v_0^2$

После взрыва каждый осколок движется под действием только силы тяжести. Ускорение для всех осколков одинаково и равно ускорению свободного падения $\vec{g}$. В выбранной системе координат $\vec{g} = (0, -g, 0)$.

Запишем уравнения движения для координат произвольного осколка в момент времени $\text{t}$ после взрыва:

$x(t) = v_{0x} t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$

$z(t) = v_{0z} t$

Чтобы найти форму поверхности, на которой находятся все осколки в момент времени $\text{t}$, выразим компоненты начальной скорости через текущие координаты:

$v_{0x} = \frac{x}{t}$

$v_{0y} = \frac{y + \frac{gt^2}{2}}{t}$

$v_{0z} = \frac{z}{t}$

Подставим эти выражения в условие для модуля начальной скорости:

$(\frac{x}{t})^2 + (\frac{y + \frac{gt^2}{2}}{t})^2 + (\frac{z}{t})^2 = v_0^2$

Умножим обе части уравнения на $t^2$:

$x^2 + (y + \frac{gt^2}{2})^2 + z^2 = (v_0 t)^2$

Это уравнение сферы. Из него следует, что центр сферы имеет координаты $C = (0, -\frac{gt^2}{2}, 0)$, а ее радиус равен $R = v_0 t$. Это означает, что центр сферы движется из точки взрыва вертикально вниз с ускорением свободного падения (совершает свободное падение), а радиус сферы увеличивается линейно со временем.

Таким образом, облако осколков в любой момент времени имеет форму сферы, которая расширяется с постоянной скоростью $v_0$, а ее центр свободно падает вниз из точки взрыва.

Ответ: Облако из осколков будет иметь форму сферы, радиус которой растет линейно со временем ($R = v_0 t$), а центр этой сферы движется вертикально вниз с ускорением свободного падения $\text{g}$ (свободно падает из точки взрыва).