Номер 1.53, страница 11 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.53, страница 11.

Условие.

1.53*. Концы каната A и B (см. рисунок) тянут вниз с одинаковой скоростью $\text{v}$. Какую скорость $\text{u}$ имеет груз в тот момент, когда угол между канатами равен $2\alpha$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость концов каната: $\text{v}$

Угол между канатами: $2\alpha$

Найти:

Скорость груза: $\text{u}$

Решение:

Рассмотрим геометрию системы. Пусть $\text{h}$ — вертикальное расстояние от груза до горизонтальной линии, соединяющей точки перегиба каната (блоки), а $\text{2d}$ — постоянное горизонтальное расстояние между этими точками. Пусть $\text{l}$ — длина каната от одной точки перегиба до груза. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $\text{h}$ и $\text{d}$ и гипотенузой $\text{l}$ имеем:

$l^2 = h^2 + d^2$

Поскольку груз движется, величины $\text{l}$ и $\text{h}$ изменяются со временем. Продифференцируем это уравнение по времени $\text{t}$, учитывая, что $\text{d}$ — константа:

$\frac{d}{dt}(l^2) = \frac{d}{dt}(h^2 + d^2)$

$2l \frac{dl}{dt} = 2h \frac{dh}{dt} + 0$

$l \frac{dl}{dt} = h \frac{dh}{dt}$

Теперь свяжем производные с данными скоростями. Скорость груза $\text{u}$ направлена вертикально вверх. Эта скорость равна скорости уменьшения расстояния $\text{h}$. Таким образом:

$u = -\frac{dh}{dt}$, откуда $\frac{dh}{dt} = -u$

Концы каната A и B тянут вниз со скоростью $\text{v}$. Это означает, что общая длина каната, освобождающаяся с двух сторон, равна $\text{2v}$ в единицу времени. Эта длина "уходит" в укорачивание подвешенной части каната, длина которой равна $\text{2l}$. Следовательно, скорость уменьшения длины $\text{2l}$ равна $\text{2v}$:

$\frac{d(2l)}{dt} = -2v$

$2\frac{dl}{dt} = -2v$

$\frac{dl}{dt} = -v$

Подставим выражения для $\frac{dh}{dt}$ и $\frac{dl}{dt}$ в ранее полученное уравнение $l \frac{dl}{dt} = h \frac{dh}{dt}$:

$l(-v) = h(-u)$

$lv = hu$

Выразим отсюда искомую скорость груза $\text{u}$:

$u = v \frac{l}{h}$

Осталось выразить отношение $\frac{l}{h}$ через заданный угол $2\alpha$. Угол между канатами равен $2\alpha$. В равнобедренном треугольнике, образованном грузом и точками перегиба, вертикальная линия, проходящая через груз, является биссектрисой. Она делит угол $2\alpha$ на два угла по $\alpha$. В прямоугольном треугольнике с катетом $\text{h}$ (прилежащий к углу $\alpha$) и гипотенузой $\text{l}$ косинус угла $\alpha$ равен:

$\cos \alpha = \frac{h}{l}$

Отсюда получаем искомое отношение:

$\frac{l}{h} = \frac{1}{\cos \alpha}$

Подставим это отношение в формулу для скорости $\text{u}$:

$u = v \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{v}{\cos \alpha}$

Ответ:

Скорость груза в заданный момент времени равна $u = \frac{v}{\cos \alpha}$.