Номер 1.50, страница 11 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.50, страница 11.

Условие.

1.50**. Какую наименьшую начальную скорость нужно сообщить при ударе футбольному мячу, чтобы он перелетел через стену высотой $\text{H}$, находящуюся на расстоянии $\text{s}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\text{H}$ - высота стены,

$\text{s}$ - расстояние до стены.

Найти:

$v_{0,min}$ - наименьшую начальную скорость.

Решение:

Рассмотрим движение футбольного мяча как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Сопротивление воздуха не учитываем. Введем систему координат: начало в точке удара, ось $\text{OX}$ направлена горизонтально в сторону стены, ось $\text{OY}$ — вертикально вверх. Ускорение свободного падения $\text{g}$ направлено против оси $\text{OY}$.

Пусть начальная скорость мяча равна $v_0$ и направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Уравнения движения мяча имеют вид:

$x(t) = (v_0 \cos\alpha) t$

$y(t) = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Выразим время $\text{t}$ из первого уравнения и подставим во второе, чтобы получить уравнение траектории $y(x)$:

$t = \frac{x}{v_0 \cos\alpha}$

$y(x) = (v_0 \sin\alpha) \frac{x}{v_0 \cos\alpha} - \frac{g}{2} \left(\frac{x}{v_0 \cos\alpha}\right)^2 = x \tan\alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2\alpha}$

Используя тригонометрическое тождество $\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha$, перепишем уравнение траектории:

$y = x \tan\alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2}(1 + \tan^2\alpha)$

Мы ищем наименьшую начальную скорость $v_0$, при которой мяч сможет перелететь через стену. Это означает, что траектория мяча должна проходить через точку с координатами $(s, H)$. Подставим эти значения в уравнение траектории:

$H = s \tan\alpha - \frac{gs^2}{2v_0^2}(1 + \tan^2\alpha)$

Это уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $\tan\alpha$:

$\frac{gs^2}{2v_0^2} \tan^2\alpha - s \tan\alpha + \left(H + \frac{gs^2}{2v_0^2}\right) = 0$

Для того чтобы существовал такой угол $\alpha$, при котором мяч попадет в точку $(s, H)$, это квадратное уравнение должно иметь хотя бы одно действительное решение для $\tan\alpha$. Условием этого является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$):

$D = (-s)^2 - 4 \left(\frac{gs^2}{2v_0^2}\right) \left(H + \frac{gs^2}{2v_0^2}\right) \ge 0$

$s^2 - \frac{2gs^2}{v_0^2}\left(H + \frac{gs^2}{2v_0^2}\right) \ge 0$

Поскольку $s \neq 0$, можно разделить обе части на $s^2$:

$1 - \frac{2gH}{v_0^2} - \frac{g^2s^2}{v_0^4} \ge 0$

Это неравенство связывает начальную скорость $v_0$ с координатами точки $(s, H)$, которую траектория должна достичь. Наименьшая возможная скорость $v_{0,min}$ соответствует случаю, когда дискриминант равен нулю ($D = 0$). В этом случае существует единственный угол броска, позволяющий поразить цель. Итак, для нахождения $v_{0,min}$ решим уравнение:

$1 - \frac{2gH}{v_{0,min}^2} - \frac{g^2s^2}{v_{0,min}^4} = 0$

Сделаем замену $V = v_{0,min}^2$. Уравнение примет вид:

$1 - \frac{2gH}{V} - \frac{g^2s^2}{V^2} = 0$

Умножим обе части на $V^2$ (при $V \neq 0$):

$V^2 - 2gHV - g^2s^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{V}$. Решим его:

$V = \frac{-(-2gH) \pm \sqrt{(-2gH)^2 - 4(1)(-g^2s^2)}}{2(1)} = \frac{2gH \pm \sqrt{4g^2H^2 + 4g^2s^2}}{2}$

$V = \frac{2gH \pm 2g\sqrt{H^2 + s^2}}{2} = gH \pm g\sqrt{H^2 + s^2}$

Поскольку $V = v_{0,min}^2$ должно быть положительной величиной, а $g\sqrt{H^2+s^2} > gH$, мы должны выбрать знак плюс:

$v_{0,min}^2 = gH + g\sqrt{H^2 + s^2} = g(H + \sqrt{s^2 + H^2})$

Извлекая квадратный корень, находим искомую наименьшую начальную скорость:

$v_{0,min} = \sqrt{g(H + \sqrt{s^2 + H^2})}$

Ответ: Наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить мячу, равна $v_{0,min} = \sqrt{g(H + \sqrt{s^2 + H^2})}$.