Номер 1.44, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.44, страница 10.

Условие.

1.44. Снаряд вылетает из пушки с начальной скоростью $v_0 = 1000$ м/с под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Какое время $\text{t}$ снаряд находится в воздухе? На какую высоту $\text{H}$ поднимается? На каком расстоянии $\text{L}$ от пушки он упадет на землю?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 1000$ м/с
Угол к горизонту $\alpha = 30^\circ$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{t}$ - время нахождения в воздухе
$\text{H}$ - максимальная высота подъема
$\text{L}$ - расстояние, на котором снаряд упадет на землю

Решение:

Движение снаряда, выпущенного под углом к горизонту, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (вдоль оси OX) и равноускоренного по вертикали (вдоль оси OY) с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Разложим начальную скорость на горизонтальную $v_{0x}$ и вертикальную $v_{0y}$ составляющие:
$v_{0x} = v_0 \cos \alpha$
$v_{0y} = v_0 \sin \alpha$

Тогда уравнения движения для координат x и y в любой момент времени $\text{t}$ будут выглядеть следующим образом:
$x(t) = (v_0 \cos \alpha) t$
$y(t) = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Какое время t снаряд находится в воздухе?

Полное время полета $\text{t}$ — это время, через которое снаряд вернется на начальную высоту, то есть его вертикальная координата $y(t)$ снова станет равной нулю.

$y(t) = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2} = 0$

Вынесем $\text{t}$ за скобки:

$t \cdot (v_0 \sin \alpha - \frac{gt}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$, что соответствует моменту выстрела, и $t_2$, которое и является полным временем полета.

$v_0 \sin \alpha - \frac{gt}{2} = 0 \implies t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$

Подставим числовые значения, учитывая, что $\sin(30^\circ) = 0.5$:

$t = \frac{2 \cdot 1000 \, \text{м/с} \cdot 0.5}{9.8 \, \text{м/с}^2} = \frac{1000}{9.8} \, \text{с} \approx 102.04 \, \text{с}$

Ответ: Время нахождения снаряда в воздухе $t \approx 102$ с.

На какую высоту H поднимается?

Максимальная высота подъема $\text{H}$ достигается в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Найдем время подъема $t_{под}$ из уравнения $v_y(t) = v_{0y} - gt = 0$.

$t_{под} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$

Подставим это время в уравнение для вертикальной координаты $y(t)$:

$H = y(t_{под}) = (v_0 \sin \alpha) t_{под} - \frac{gt_{под}^2}{2}$

После подстановки и упрощения получим формулу:

$H = \frac{(v_0 \sin \alpha)^2}{2g}$

Подставим числовые значения:

$H = \frac{(1000 \, \text{м/с} \cdot 0.5)^2}{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2} = \frac{500^2}{19.6} \, \text{м} = \frac{250000}{19.6} \, \text{м} \approx 12755 \, \text{м}$

Ответ: Снаряд поднимается на высоту $H \approx 12755$ м (что составляет примерно $12.8$ км).

На каком расстоянии L от пушки он упадет на землю?

Расстояние $\text{L}$ (дальность полета) — это горизонтальное расстояние, которое снаряд пролетит за полное время полета $\text{t}$.

$L = x(t) = (v_0 \cos \alpha) t$

Подставим ранее найденное выражение для полного времени полета $t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$:

$L = (v_0 \cos \alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{g}$

Используя тригонометрическое тождество двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим числовые значения, учитывая, что $\sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:

$L = \frac{(1000 \, \text{м/с})^2 \cdot \sin(60^\circ)}{9.8 \, \text{м/с}^2} \approx \frac{1000000 \cdot 0.866}{9.8} \, \text{м} \approx 88367 \, \text{м}$

Ответ: Снаряд упадет на землю на расстоянии $L \approx 88367$ м (что составляет примерно $88.4$ км) от пушки.