Номер 1.41, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.41, страница 10.

Условие.

1.41. Тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Сколько времени длится полет? На каком расстоянии от места бросания упадет тело? При каком значении угла $\alpha$ дальность полета будет наибольшей? Найдите уравнение траектории тела.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

1. Время полета $\text{T}$

2. Дальность полета $\text{L}$

3. Угол $\alpha$, при котором дальность полета максимальна

4. Уравнение траектории $y(x)$

Решение:

Введем систему координат: ось OX направим горизонтально, а ось OY – вертикально вверх. Начало отсчета поместим в точку бросания. В этом случае движение тела можно описать как сумму двух независимых движений: равномерного по оси OX и равноускоренного по оси OY с ускорением $a_y = -g$.

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Зависимость координат тела от времени $\text{t}$ имеет вид:

$x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos(\alpha)) t$

$y(t) = v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = (v_0 \sin(\alpha)) t - \frac{g t^2}{2}$

Сколько времени длится полет?

Полет продолжается до тех пор, пока тело не вернется на начальную высоту, то есть пока его координата $\text{y}$ снова не станет равной нулю. Обозначим полное время полета через $\text{T}$.

$y(T) = (v_0 \sin(\alpha)) T - \frac{g T^2}{2} = 0$

Вынесем $\text{T}$ за скобки:

$T \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{g T}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T_1 = 0$, что соответствует моменту начала движения, и $v_0 \sin(\alpha) - \frac{g T_2}{2} = 0$, что соответствует моменту падения. Из второго уравнения находим время полета $T = T_2$:

$T = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Ответ: Время полета составляет $T = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$.

На каком расстоянии от места бросания упадет тело?

Дальность полета $\text{L}$ – это расстояние по горизонтали, которое пролетит тело за время полета $\text{T}$.

$L = x(T) = (v_0 \cos(\alpha)) T$

Подставим в это выражение найденное ранее время полета $\text{T}$:

$L = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))}{g}$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем окончательное выражение для дальности полета:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Ответ: Тело упадет на расстоянии $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ от места бросания.

При каком значении угла α дальность полета будет наибольшей?

Дальность полета определяется формулой $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$. При фиксированной начальной скорости $v_0$ дальность $\text{L}$ зависит только от угла бросания $\alpha$.

Дальность будет максимальной, когда значение функции $\sin(2\alpha)$ будет максимальным. Максимальное значение синуса равно 1.

$\sin(2\alpha) = 1$

Это равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 45^\circ$

Ответ: Дальность полета будет наибольшей при угле $\alpha = 45^\circ$.

Найдите уравнение траектории тела.

Уравнение траектории представляет собой зависимость координаты $\text{y}$ от координаты $\text{x}$, то есть функцию $y(x)$. Чтобы ее найти, необходимо исключить время $\text{t}$ из системы уравнений для координат:

$x(t) = (v_0 \cos(\alpha)) t$

$y(t) = (v_0 \sin(\alpha)) t - \frac{g t^2}{2}$

Из первого уравнения выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)}$

Подставим это выражение для $\text{t}$ во второе уравнение:

$y(x) = v_0 \sin(\alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)} \right)^2$

Упростим полученное выражение, учитывая, что $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$:

$y(x) = x \tan(\alpha) - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)}$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, что и является траекторией движения тела в поле тяжести.

Ответ: Уравнение траектории тела: $y(x) = x \tan(\alpha) - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha)}$.