Номер 1.38, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.38, страница 10.

Условие.

1.38*. С высоты $\text{H}$ на горизонтальную плиту падает шарик. Постройте графики зависимости от времени проекции скорости $v_y$ (ось $\text{y}$ направлена вверх) и высоты шарика. Соударения считайте упругими, их продолжительностью можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная высота шарика: $\text{H}$

Начальная скорость шарика: $v_{0y} = 0$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Соударения с плитой упругие, их длительностью можно пренебречь.

Ось $\text{y}$ направлена вверх, начало координат ($y=0$) находится на уровне плиты.

Найти:

1. График зависимости проекции скорости $v_y$ от времени $\text{t}$.

2. График зависимости высоты $\text{y}$ от времени $\text{t}$.

Решение:

Движение шарика между соударениями — это движение с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения $\text{g}$. Так как ось $\text{y}$ направлена вертикально вверх, проекция ускорения на эту ось будет $a_y = -g$.

Этап 1: Падение до первого удара

В начальный момент времени $t=0$ шарик находится на высоте $y(0) = H$ и его начальная скорость равна $v_y(0) = 0$.

Зависимость высоты от времени на этом этапе описывается уравнением: $y(t) = y(0) + v_y(0)t + \frac{a_y t^2}{2} = H - \frac{gt^2}{2}$.

Зависимость проекции скорости от времени: $v_y(t) = v_y(0) + a_y t = -gt$.

Шарик достигнет плиты, когда его высота станет равной нулю, $y(t_1) = 0$. Найдем время первого падения $t_1$:

$H - \frac{gt_1^2}{2} = 0 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Скорость шарика непосредственно перед первым ударом в момент времени $t_1$:

$v_{y1, \text{до}} = -gt_1 = -g\sqrt{\frac{2H}{g}} = -\sqrt{2gH}$.

Этап 2: Движение после первого удара

По условию, соударение является абсолютно упругим, и его длительностью можно пренебречь. Это означает, что величина скорости шарика сохраняется, а ее направление меняется на противоположное. Скорость сразу после удара:

$v_{y1, \text{после}} = -v_{y1, \text{до}} = \sqrt{2gH}$.

Теперь шарик движется вверх с этой начальной скоростью. Уравнения движения для времени $t \ge t_1$:

$v_y(t) = v_{y1, \text{после}} - g(t-t_1) = \sqrt{2gH} - g(t-t_1)$.

$y(t) = v_{y1, \text{после}}(t-t_1) - \frac{g(t-t_1)^2}{2} = \sqrt{2gH}(t-t_1) - \frac{g(t-t_1)^2}{2}$.

Шарик достигнет максимальной высоты, когда его скорость станет равной нулю. Найдем момент времени $t_2$, в который это произойдет:

$v_y(t_2) = 0 \implies \sqrt{2gH} - g(t_2-t_1) = 0 \implies t_2-t_1 = \frac{\sqrt{2gH}}{g} = \sqrt{\frac{2H}{g}} = t_1$.

Отсюда, $t_2 = 2t_1$. Максимальная высота подъема после первого удара:

$y(t_2) = \sqrt{2gH}(t_2-t_1) - \frac{g(t_2-t_1)^2}{2} = \sqrt{2gH} \cdot t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = \sqrt{2gH} \sqrt{\frac{2H}{g}} - \frac{g}{2} \left(\frac{2H}{g}\right) = 2H - H = H$.

Как и ожидалось, шарик возвращается на исходную высоту $\text{H}$.

Время падения с высоты $\text{H}$ обратно на плиту, по симметрии, также равно $t_1$. Следовательно, второй удар о плиту произойдет в момент времени $t_3 = t_2 + t_1 = 2t_1 + t_1 = 3t_1$.

Скорость перед вторым ударом будет такой же, как и перед первым: $v_{y2, \text{до}} = -\sqrt{2gH}$. После второго удара скорость снова станет $v_{y2, \text{после}} = \sqrt{2gH}$.

Движение шарика является периодическим. Время между последовательными ударами о плиту (период) составляет $T = t_3 - t_1 = 2t_1 = 2\sqrt{\frac{2H}{g}}$.

График зависимости проекции скорости $v_y$ от времени $\text{t}$

На основе полученных уравнений строим график:

1. На участке $0 \le t < t_1$: скорость линейно уменьшается по закону $v_y(t) = -gt$. График — отрезок прямой, идущий из точки $(0, 0)$ в точку $(t_1, -\sqrt{2gH})$.

2. В момент $t=t_1$: происходит упругий удар, и скорость скачком меняется от $-\sqrt{2gH}$ до $+\sqrt{2gH}$.

3. На участке $t_1 < t < 3t_1$: скорость линейно уменьшается по закону $v_y(t) = \sqrt{2gH} - g(t-t_1)$. График — отрезок прямой с тем же наклоном $-g$, идущий из точки $(t_1, \sqrt{2gH})$ в точку $(3t_1, -\sqrt{2gH})$. В момент $t=2t_1$ скорость равна нулю (шарик в верхней точке траектории).

4. В момент $t=3t_1$: происходит следующий удар, и скорость снова скачком меняется от $-\sqrt{2gH}$ до $+\sqrt{2gH}$.

Процесс повторяется периодически.

Ответ: График $v_y(t)$ представляет собой "пилообразную" зависимость. Он состоит из последовательности отрезков прямых с одинаковым отрицательным наклоном, равным $-g$. В моменты времени $t_k = (2k-1)\sqrt{2H/g}$ (где $k=1, 2, 3, \ldots$) происходят разрывы (скачки): скорость мгновенно изменяется со значения $-\sqrt{2gH}$ на $+\sqrt{2gH}$. Начальный участок от $t=0$ до $t_1$ начинается с $v_y=0$.

График зависимости высоты $\text{y}$ от времени $\text{t}$

1. На участке $0 \le t \le t_1$: высота изменяется по закону $y(t) = H - \frac{gt^2}{2}$. График — это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, H)$. Участок соединяет точки $(0, H)$ и $(t_1, 0)$.

2. На участке $t_1 \le t \le 3t_1$: высота изменяется по закону $y(t) = \sqrt{2gH}(t-t_1) - \frac{g(t-t_1)^2}{2}$. График — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(2t_1, H)$. Участок соединяет точки $(t_1, 0)$, $(2t_1, H)$ и $(3t_1, 0)$.

3. Этот параболический участок повторяется периодически для каждого последующего отскока.

Ответ: График $y(t)$ представляет собой последовательность соприкасающихся параболических арок. Первая арка (неполная) начинается в точке $(0, H)$ и заканчивается на оси времени в точке $(t_1, 0)$, где $t_1 = \sqrt{2H/g}$. Все последующие арки начинаются и заканчиваются на оси времени (в точках $t_k = (2k-1)t_1$) и достигают максимальной высоты $\text{H}$ в моменты времени $t=2kt_1$ (где $k=1, 2, 3, \ldots$).