Номер 1.31, страница 9 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.31, страница 9.

Условие.

1.31. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$. Когда оно достигло высшей точки, из той же начальной точки с той же начальной скоростью брошено вверх другое тело. На какой высоте $\text{H}$ тела встретятся?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость первого тела: $v_0$

Начальная скорость второго тела: $v_0$

Второе тело брошено, когда первое достигло высшей точки.

Найти:

Высота встречи тел $\text{H}$.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Начало координат $(y=0)$ поместим в точку бросания, а ось OY направим вертикально вверх. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, движение тел равноускоренное с ускорением $\text{g}$, направленным вниз.

1. Сначала определим время подъема первого тела до высшей точки. В высшей точке траектории скорость тела обращается в ноль. Уравнение скорости для тела, брошенного вертикально вверх, имеет вид:

$v(t) = v_0 - gt$

Пусть $t_{под}$ — время подъема. Тогда $v(t_{под}) = 0$.

$0 = v_0 - gt_{под} \implies t_{под} = \frac{v_0}{g}$

Именно в этот момент времени $t_{под}$ из начальной точки бросают второе тело.

2. Найдем максимальную высоту подъема $H_{max}$, которую достигло первое тело. Уравнение координаты:

$y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

$H_{max} = y(t_{под}) = v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

3. Теперь запишем уравнения движения для обоих тел, начиная отсчет нового времени $t'$ с момента броска второго тела (то есть $t' = t - t_{под}$).

В момент $t'=0$ первое тело находится на высоте $H_{max}$ и его начальная скорость равна нулю (оно начинает свободно падать). Его уравнение движения:

$y_1(t') = H_{max} - \frac{g(t')^2}{2}$

Второе тело в момент $t'=0$ бросают из точки $y=0$ с начальной скоростью $v_0$. Его уравнение движения:

$y_2(t') = v_0 t' - \frac{g(t')^2}{2}$

4. Тела встретятся, когда их координаты будут равны. Пусть $t'_{встр}$ — время от момента броска второго тела до встречи. В этот момент $y_1(t'_{встр}) = y_2(t'_{встр}) = H$.

$H_{max} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2} = v_0 t'_{встр} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2}$

Сократив слагаемое $-\frac{g(t'_{встр})^2}{2}$ в обеих частях уравнения, получим:

$H_{max} = v_0 t'_{встр}$

Отсюда можем найти время до встречи:

$t'_{встр} = \frac{H_{max}}{v_0} = \frac{v_0^2/2g}{v_0} = \frac{v_0}{2g}$

5. Для нахождения высоты встречи $\text{H}$ подставим найденное время $t'_{встр}$ в любое из уравнений движения, например, в уравнение для второго тела:

$H = y_2(t'_{встр}) = v_0 t'_{встр} - \frac{g(t'_{встр})^2}{2}$

$H = v_0 \left(\frac{v_0}{2g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{2g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2}\frac{v_0^2}{4g^2} = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{v_0^2}{8g}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$H = \frac{4v_0^2 - v_0^2}{8g} = \frac{3v_0^2}{8g}$

Ответ: $H = \frac{3v_0^2}{8g}$