Номер 1.24, страница 8 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.24, страница 8.

Условие.

1.24. Докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости выполняется «закон нечетных чисел»: пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся, как последовательные нечетные числа: $s_1 : s_2 : \dots s_n = 1 : 3 : \dots (2n - 1)$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Движение: прямолинейное, равноускоренное.

Начальная скорость: $v_0 = 0$.

Ускорение: $a = \text{const}$.

Рассматриваются последовательные равные промежутки времени $\tau$.

$s_n$ — путь, пройденный телом за n-й промежуток времени.

Найти:

Доказать соотношение: $s_1 : s_2 : ... : s_n = 1 : 3 : ... : (2n - 1)$.

Решение:

Путь, пройденный телом при прямолинейном равноускоренном движении, определяется формулой:

$S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Согласно условию, начальная скорость $v_0 = 0$. Тогда формула для пути, пройденного от начала движения до момента времени $\text{t}$, упрощается:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

Разобьем все время движения на последовательные равные промежутки времени $\tau$.

Путь $s_1$, пройденный за первый промежуток времени (от $t=0$ до $t=\tau$):

$s_1 = S(\tau) - S(0) = \frac{a\tau^2}{2} - 0 = \frac{a\tau^2}{2}$

Путь $s_2$, пройденный за второй промежуток времени (от $t=\tau$ до $t=2\tau$):

$s_2 = S(2\tau) - S(\tau) = \frac{a(2\tau)^2}{2} - \frac{a\tau^2}{2} = \frac{a}{2}(4\tau^2 - \tau^2) = 3 \cdot \frac{a\tau^2}{2}$

Путь $s_3$, пройденный за третий промежуток времени (от $t=2\tau$ до $t=3\tau$):

$s_3 = S(3\tau) - S(2\tau) = \frac{a(3\tau)^2}{2} - \frac{a(2\tau)^2}{2} = \frac{a}{2}(9\tau^2 - 4\tau^2) = 5 \cdot \frac{a\tau^2}{2}$

Теперь найдем путь $s_n$, пройденный за n-й промежуток времени (от $t=(n-1)\tau$ до $t=n\tau$) в общем виде. Этот путь равен разности путей, пройденных за время $n\tau$ и $(n-1)\tau$ от начала движения.

$s_n = S(n\tau) - S((n-1)\tau) = \frac{a(n\tau)^2}{2} - \frac{a((n-1)\tau)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{a\tau^2}{2}$ за скобки:

$s_n = \frac{a\tau^2}{2} [n^2 - (n-1)^2]$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ или просто возведя в квадрат:

$s_n = \frac{a\tau^2}{2} [n^2 - (n^2 - 2n + 1)] = \frac{a\tau^2}{2} (n^2 - n^2 + 2n - 1) = \frac{a\tau^2}{2} (2n - 1)$

Теперь составим отношение путей $s_1 : s_2 : s_3 : ... : s_n$:

$s_1 : s_2 : ... : s_n = \left(\frac{a\tau^2}{2} \cdot 1\right) : \left(\frac{a\tau^2}{2} \cdot 3\right) : ... : \left(\frac{a\tau^2}{2} \cdot (2n-1)\right)$

Сократив все члены отношения на общий множитель $\frac{a\tau^2}{2}$, получим:

$s_1 : s_2 : ... : s_n = 1 : 3 : ... : (2n-1)$

Таким образом, мы доказали, что пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательные нечетные числа. Это утверждение известно как закон нечетных чисел или закон Галилея для свободного падения (частный случай равноускоренного движения).

Ответ: Утверждение доказано.