Номер 1.29, страница 9 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.29, страница 9.

Условие.

1.29. Тело падает без начальной скорости*) с высоты 100 м. За какое время тело проходит первый и последний метры своего пути? Какой путь проходит тело за первую секунду своего движения? За последнюю?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$H = 100 \text{ м}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$t_1$ - время прохождения первого метра

$t_{100}$ - время прохождения последнего метра

$s_1$ - путь за первую секунду

$s_{last}$ - путь за последнюю секунду

Решение:

Движение тела является свободным падением, которое представляет собой равноускоренное движение с начальной скоростью $v_0 = 0$ и ускорением $a = g$. Путь, пройденный телом за время $\text{t}$, определяется формулой:

$h(t) = v_0t + \frac{gt^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить время $\text{t}$, за которое тело проходит путь $\text{h}$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

За какое время тело проходит первый метр своего пути?

Для нахождения времени прохождения первого метра ($h_1 = 1 \text{ м}$), подставим это значение в формулу для времени:

$t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot h_1}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{0.204 \text{ с}^2} \approx 0.45 \text{ с}$

Ответ: Тело проходит первый метр своего пути примерно за 0.45 с.

За какое время тело проходит последний метр своего пути?

Чтобы найти время прохождения последнего метра, сначала определим общее время падения $\text{T}$ с высоты $H = 100 \text{ м}$ и время падения $T_{99}$ на протяжении первых $99 \text{ м}$.

Общее время падения:

$T = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{20.408 \text{ с}^2} \approx 4.518 \text{ с}$

Время падения на протяжении первых $99 \text{ м}$:

$T_{99} = \sqrt{\frac{2 \cdot 99 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{20.204 \text{ с}^2} \approx 4.495 \text{ с}$

Время прохождения последнего метра $t_{100}$ равно разности общего времени падения и времени падения на протяжении первых 99 метров:

$t_{100} = T - T_{99} \approx 4.518 \text{ с} - 4.495 \text{ с} = 0.023 \text{ с}$

Ответ: Тело проходит последний метр своего пути примерно за 0.023 с.

Какой путь проходит тело за первую секунду своего движения?

Поскольку общее время падения ($T \approx 4.52 \text{ с}$) больше одной секунды, мы можем найти путь, пройденный за первую секунду ($t=1 \text{ с}$), используя формулу для пути:

$s_1 = h(1 \text{ с}) = \frac{g(1 \text{ с})^2}{2} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с}^2}{2} = 4.9 \text{ м}$

Ответ: За первую секунду своего движения тело проходит путь 4.9 м.

Какой путь проходит тело за последнюю секунду?

Последняя секунда движения - это промежуток времени от $t' = T - 1 \text{ с}$ до $\text{T}$. Путь, пройденный за это время, равен разности между полным путем $\text{H}$ и путем $h(t')$, пройденным за время $t'$.

$s_{last} = H - h(T-1) = \frac{gT^2}{2} - \frac{g(T-1)^2}{2}$

Упростим выражение:

$s_{last} = \frac{g}{2}(T^2 - (T-1)^2) = \frac{g}{2}(T^2 - (T^2 - 2T + 1)) = \frac{g}{2}(2T - 1)$

Подставим известные значения $\text{g}$ и ранее вычисленное $T \approx 4.518 \text{ с}$:

$s_{last} \approx \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{2}(2 \cdot 4.518 \text{ с} - 1 \text{ с}) = 4.9 \text{ м/с}^2 \cdot (9.036 \text{ с} - 1 \text{ с}) = 4.9 \cdot 8.036 \text{ м} \approx 39.38 \text{ м}$

Ответ: За последнюю секунду своего движения тело проходит путь примерно 39.4 м.