Номер 1.35, страница 9 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.35, страница 9.

Условие.

1.35*. На клин, плоскость которого составляет угол $ \alpha $ с горизонтом, положили тело А. Какое ускорение $ a $ надо сообщить клину в горизонтальном направлении, чтобы «выбить» его из-под тела (т. е. чтобы тело А свободно падало)?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол наклона клина к горизонту: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Горизонтальное ускорение клина: $\text{a}$

Решение:

Условие задачи "чтобы тело А свободно падало" означает, что на тело А должна действовать только сила тяжести. Это возможно, если тело А потеряет контакт с поверхностью клина, то есть сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ со стороны клина станет равной нулю.

Рассмотрим задачу в неинерциальной системе отсчета, связанной с клином. Эта система движется поступательно с горизонтальным ускорением $\vec{a}$. В такой системе отсчета на тело А массой $\text{m}$ действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности клина.
3. Сила инерции $\vec{F_{ин}} = -m\vec{a}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную ускорению клина.

Введем систему координат, оси которой направим так, чтобы одна из них была перпендикулярна наклонной плоскости. Пусть ось $OY'$ будет направлена перпендикулярно поверхности клина от него, а ось $OX'$ — вдоль поверхности клина.

Условие отрыва тела от клина ($N=0$) означает, что сумма проекций всех сил на ось $OY'$ должна быть равна нулю (или направлена от поверхности). Мы ищем минимальное ускорение, при котором начнется отрыв, поэтому рассматриваем пограничный случай, когда равнодействующая сил в направлении $OY'$ равна нулю.

$\sum F_{y'} = 0$

Найдем проекции сил на ось $OY'$. Ось $OY'$ составляет угол $\alpha$ с вертикалью и угол $(90^\circ - \alpha)$ с горизонталью.

• Проекция силы нормальной реакции: $N_{y'} = N$.
• Проекция силы тяжести: $F_{g,y'} = -mg \cos(\alpha)$. Знак "минус" показывает, что эта проекция направлена в сторону, противоположную оси $OY'$ (вдавливает тело в клин).
• Проекция силы инерции: $F_{ин,y'} = F_{ин} \cos(90^\circ - \alpha) = ma \sin(\alpha)$. Эта проекция направлена вдоль оси $OY'$ (пытается оторвать тело от клина).

Запишем уравнение для суммы проекций:

$N - mg \cos(\alpha) + ma \sin(\alpha) = 0$

В момент отрыва тела от поверхности $N=0$. Подставим это условие в уравнение:

$0 - mg \cos(\alpha) + ma \sin(\alpha) = 0$

Отсюда находим ускорение $\text{a}$:

$ma \sin(\alpha) = mg \cos(\alpha)$

$a \sin(\alpha) = g \cos(\alpha)$

$a = g \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Используя тригонометрическое тождество $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, получаем окончательное выражение:

$a = g \cot(\alpha)$

Ответ:

Чтобы тело А начало свободно падать, клину необходимо сообщить горизонтальное ускорение $a = g \cot(\alpha)$.