Номер 1.42, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.42, страница 10.

Условие.

1.42. С отвесного берега высотой $\text{h}$ произведен выстрел в горизонтальном направлении. Начальная скорость пули равна $v_0$. Найдите модуль и направление скорости пули $\text{v}$ при вхождении в воду.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота берега: $\text{h}$

Начальная скорость пули: $v_0$ (направлена горизонтально)

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Модуль скорости $\text{v}$ и ее направление при вхождении в воду.

Решение:

Движение пули можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения (свободного падения) в вертикальном направлении.

Введем систему координат: ось $\text{Ox}$ направим горизонтально по направлению выстрела, а ось $\text{Oy}$ — вертикально вниз. Начало координат $(0, 0)$ поместим в точку выстрела.

В этом случае начальные условия будут следующими:

• Начальные координаты: $x(0) = 0$, $y(0) = 0$.
• Начальные проекции скорости: $v_{0x} = v_0$, $v_{0y} = 0$.
• Проекции ускорения: $a_x = 0$, $a_y = g$.

Запишем уравнения для проекций скорости и координат в любой момент времени $\text{t}$:

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ не меняется со временем, так как в этом направлении нет ускорения:

$v_x(t) = v_{0x} = v_0$

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ изменяется под действием силы тяжести:

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = 0 + gt = gt$

Найдем время полета пули $\text{t}$. Пуля войдет в воду, когда ее вертикальная координата $\text{y}$ станет равной высоте берега $\text{h}$. Уравнение для вертикальной координаты:

$y(t) = y(0) + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = 0 + 0 \cdot t + \frac{gt^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$

При $y(t) = h$ получаем:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда выражаем время полета:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь найдем компоненты скорости пули в момент вхождения в воду (при $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$):

Горизонтальная компонента: $v_x = v_0$

Вертикальная компонента: $v_y = gt = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{g^2 \cdot 2h}{g}} = \sqrt{2gh}$

Модуль полной скорости $\text{v}$ найдем по теореме Пифагора, так как вектор скорости является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются его компоненты $v_x$ и $v_y$:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (\sqrt{2gh})^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

Направление скорости определим как угол $\alpha$, который вектор скорости $\vec{v}$ составляет с горизонталью. Тангенс этого угла равен отношению модуля вертикальной компоненты скорости к горизонтальной:

$\tan{\alpha} = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\sqrt{2gh}}{v_0}$

Следовательно, угол можно найти как $\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2gh}}{v_0}\right)$. Этот угол отсчитывается от горизонтали вниз.

Ответ: Модуль скорости пули при вхождении в воду равен $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$. Скорость направлена под углом $\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2gh}}{v_0}\right)$ к горизонту.