Номер 1.45, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.45, страница 10.

Условие.

1.45. Камень бросают горизонтально с вершины горы, склон которой образует угол $\alpha$ с горизонтом. С какой скоростью $v_0$ нужно бросить камень, чтобы он упал на склон горы на расстоянии $\text{L}$ от вершины?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол наклона склона горы к горизонту: $\alpha$
Расстояние от вершины до точки падения на склоне: $\text{L}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Начальная скорость камня: $v_0$

Решение:

Выберем систему координат с началом в точке броска (на вершине горы). Ось $\text{Ox}$ направим горизонтально в направлении броска, а ось $\text{Oy}$ — вертикально вниз.

Движение камня является движением тела, брошенного горизонтально. Его можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения вдоль оси $\text{Ox}$ и равноускоренного движения без начальной скорости вдоль оси $\text{Oy}$.

Координаты камня в любой момент времени $\text{t}$ описываются уравнениями:
$x(t) = v_0 t$
$y(t) = \frac{gt^2}{2}$

Камень падает на склон в точке, находящейся на расстоянии $\text{L}$ от вершины. Координаты этой точки $(x_f, y_f)$ можно выразить через расстояние $\text{L}$ и угол наклона склона $\alpha$, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, где $\text{L}$ — гипотенуза, а $x_f$ и $y_f$ — катеты:
$x_f = L \cos \alpha$
$y_f = L \sin \alpha$

Пусть $t_f$ — полное время полета камня. В момент падения $t = t_f$ координаты камня, найденные из уравнений движения, должны совпасть с координатами точки падения на склоне. Составим систему уравнений:
$L \cos \alpha = v_0 t_f$ (1)
$L \sin \alpha = \frac{gt_f^2}{2}$ (2)

Из уравнения (2) выразим время полета $t_f$:
$t_f^2 = \frac{2L \sin \alpha}{g}$
$t_f = \sqrt{\frac{2L \sin \alpha}{g}}$

Подставим полученное выражение для $t_f$ в уравнение (1), чтобы найти начальную скорость $v_0$:
$L \cos \alpha = v_0 \sqrt{\frac{2L \sin \alpha}{g}}$

Выразим $v_0$ из этого уравнения:
$v_0 = \frac{L \cos \alpha}{\sqrt{\frac{2L \sin \alpha}{g}}} = L \cos \alpha \sqrt{\frac{g}{2L \sin \alpha}}$

Для упрощения внесем множитель $L \cos \alpha$ под знак корня:
$v_0 = \sqrt{\frac{(L \cos \alpha)^2 g}{2L \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{L^2 g \cos^2 \alpha}{2L \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{gL \cos^2 \alpha}{2 \sin \alpha}}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{\frac{gL \cos^2 \alpha}{2 \sin \alpha}}$