Номер 1.43, страница 10 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.43, страница 10.

Условие.

1.43. Под каким углом $\alpha$ к горизонту нужно направить струю воды, чтобы высота ее подъема была равна дальности?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$H = L$, где $\text{H}$ - максимальная высота подъема струи, $\text{L}$ - дальность полета струи.

Найти:

$\alpha$ — угол, под которым нужно направить струю к горизонту.

Решение:

Движение струи воды можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. В этом случае максимальная высота подъема $\text{H}$ и дальность полета $\text{L}$ определяются следующими формулами:

Максимальная высота подъема: $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$, где $v_0$ — начальная скорость, $\alpha$ — угол к горизонту, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Дальность полета: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Согласно условию задачи, высота подъема равна дальности:

$H = L$

Приравняем правые части формул:

$\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{v_0^2}{g}$ (так как начальная скорость и ускорение свободного падения не равны нулю):

$\frac{\sin^2 \alpha}{2} = \sin(2\alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$\frac{\sin^2 \alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Разделим обе части на $\sin \alpha$. Это возможно, так как для наличия полета угол $\alpha$ не может быть равен $\text{0}$ или $180^\circ$, а значит $\sin \alpha \neq 0$.

$\frac{\sin \alpha}{2} = 2 \cos \alpha$

Теперь выразим тангенс угла $\alpha$, разделив обе части на $\cos \alpha$ (угол не равен $90^\circ$, иначе дальность полета была бы нулевой):

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 4$

$\tan \alpha = 4$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(4)$

Вычисляя значение, получаем $\alpha \approx 75.96^\circ$, что можно округлить до $76^\circ$.

Ответ: $\alpha = \arctan(4) \approx 76^\circ$.