Номер 1.48, страница 11 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.48, страница 11.

Условие.

1.48. Под углом $\alpha = 60^{\circ}$ к горизонту брошено тело с начальной скоростью $v_0 = 20 \text{ м/с}$. Через какое время $\text{t}$ модуль $\beta$ угла между скоростью тела и горизонтальной плоскостью равен $45^{\circ}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальный угол броска: $\alpha = 60^\circ$
Начальная скорость: $v_0 = 20$ м/с
Конечный угол с горизонтом: $\beta = 45^\circ$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Время $\text{t}$

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как наложение двух независимых движений: равномерного по горизонтальной оси X и равноускоренного по вертикальной оси Y.

Разложим начальную скорость $v_0$ на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

В любой момент времени $\text{t}$ компоненты вектора скорости $\vec{v}$ равны:

$v_x(t) = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$ (остается постоянной, так как сопротивление воздуха не учитывается)

$v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin(\alpha) - gt$ (изменяется под действием силы тяжести)

Угол $\beta$, который вектор скорости образует с горизонталью, определяется отношением компонент скорости:

$\tan(\beta) = \frac{|v_y(t)|}{v_x(t)}$

Согласно условию, $\beta = 45^\circ$, следовательно, $\tan(45^\circ) = 1$. Подставляем это значение и выражения для компонент скорости в формулу:

$1 = \frac{|v_0 \sin(\alpha) - gt|}{v_0 \cos(\alpha)}$

Из этого уравнения получаем: $|v_0 \sin(\alpha) - gt| = v_0 \cos(\alpha)$.

Данное уравнение имеет два решения, так как выражение под знаком модуля может быть как положительным, так и отрицательным. Физически это означает, что тело будет двигаться под углом $45^\circ$ к горизонту дважды: первый раз во время подъема (когда вертикальная скорость $v_y$ положительна), и второй раз — во время спуска (когда $v_y$ отрицательна).

Случай 1: Тело движется вверх ($v_y > 0$).

Раскрываем модуль с положительным знаком:

$v_0 \sin(\alpha) - gt_1 = v_0 \cos(\alpha)$

Выражаем время $t_1$:

$gt_1 = v_0 (\sin(\alpha) - \cos(\alpha))$

$t_1 = \frac{v_0(\sin(\alpha) - \cos(\alpha))}{g}$

Случай 2: Тело движется вниз ($v_y < 0$).

Раскрываем модуль с отрицательным знаком:

$-(v_0 \sin(\alpha) - gt_2) = v_0 \cos(\alpha)$

$gt_2 - v_0 \sin(\alpha) = v_0 \cos(\alpha)$

$t_2 = \frac{v_0(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))}{g}$

Теперь выполним вычисления, подставив исходные данные:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$

Для первого случая (подъем):

$t_1 = \frac{20 \text{ м/с} \cdot (0.866 - 0.5)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{20 \cdot 0.366}{9.8} \approx \frac{7.32}{9.8} \approx 0.747$ с

Для второго случая (спуск):

$t_2 = \frac{20 \text{ м/с} \cdot (0.866 + 0.5)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{20 \cdot 1.366}{9.8} \approx \frac{27.32}{9.8} \approx 2.788$ с

Округлив результаты до двух значащих цифр, получаем:

$t_1 \approx 0.75$ с

$t_2 \approx 2.8$ с

Ответ: $t_1 \approx 0.75$ с; $t_2 \approx 2.8$ с.