Номер 1.54, страница 11 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.54, страница 11.

Условие.

1.54* Нижний край опирающейся о стену лестницы скользит по полу со скоростью 2 м/с. Найдите скорость верхнего края лестницы в тот момент, когда лестница образует со стеной угол $ \alpha = 60^\circ $.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v_x = 2$ м/с
$\alpha = 60^\circ$

Найти:

$v_y$ — скорость верхнего края лестницы.

Решение:

Пусть лестница, стена и пол образуют прямоугольный треугольник. Обозначим длину лестницы как $\text{L}$ (постоянная величина). Пусть $x(t)$ — расстояние от стены до нижнего края лестницы, а $y(t)$ — расстояние от пола до верхнего края лестницы. Согласно теореме Пифагора, эти величины связаны соотношением:

$x^2(t) + y^2(t) = L^2$

Скорость движения нижнего края лестницы — это производная от координаты $\text{x}$ по времени, то есть $v_x = \frac{dx}{dt}$. Аналогично, скорость верхнего края лестницы — это $v_y = \frac{dy}{dt}$.

Чтобы найти связь между скоростями, продифференцируем уравнение Пифагора по времени $\text{t}$:

$\frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dt}(L^2)$

Используя правило дифференцирования сложной функции и тот факт, что производная константы ($L^2$) равна нулю, получаем:

$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$

Подставим известные обозначения скоростей $v_x$ и $v_y$:

$2x v_x + 2y v_y = 0$

Разделив на 2, получим:

$x v_x + y v_y = 0$

Из этого уравнения можно выразить скорость верхнего края лестницы $v_y$:

$v_y = - \frac{x}{y} v_x$

Знак «минус» показывает, что при увеличении $\text{x}$ (нижний край движется от стены), координата $\text{y}$ уменьшается (верхний край скользит вниз). В задаче требуется найти скорость как скалярную величину, то есть модуль скорости $|v_y|$:

$|v_y| = \left| - \frac{x}{y} v_x \right| = \frac{x}{y} v_x$

Теперь определим отношение катетов $\frac{x}{y}$ для момента, когда угол $\alpha$ между лестницей и стеной составляет $60^\circ$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике:

• $\text{y}$ — катет, прилежащий к углу $\alpha$.
• $\text{x}$ — катет, противолежащий углу $\alpha$.

По определению тангенса:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{x}{y}$

Подставим это выражение в формулу для модуля скорости:

$|v_y| = \tan(\alpha) \cdot v_x$

Подставим числовые значения из условия задачи: $v_x = 2$ м/с и $\alpha = 60^\circ$.

$|v_y| = \tan(60^\circ) \cdot 2$

Значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.

$|v_y| = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$ м/с.

Ответ: $2\sqrt{3}$ м/с.