Номер 1.61, страница 12 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.61, страница 12.

Условие.

1.61*. Киносъемка вращающегося вентилятора с тремя лопастями произведена со скоростью 24 кадра в секунду. На киноэкране лопасти вентилятора кажутся неподвижными, причем видны 6 лопастей. Какой была частота $\text{n}$ вращения лопастей вентилятора? Что наблюдалось бы на экране, если бы вращение лопастей чуть замедлилось?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество лопастей вентилятора: $N_0 = 3$
Частота киносъемки: $f_c = 24$ кадра/с = 24 Гц
Видимое количество лопастей: $N_{app} = 6$

Найти:

1. Частоту вращения лопастей $\text{n}$.
2. Что будет наблюдаться на экране при замедлении вращения.

Решение:

Какой была частота n вращения лопастей вентилятора?

Это явление известно как стробоскопический эффект. Время, проходящее между двумя последовательными кадрами, составляет $\Delta t = 1/f_c = 1/24$ с.

У вентилятора 3 лопасти, которые расположены симметрично под углом $\alpha = 360^\circ / 3 = 120^\circ$ друг к другу, что в радианах составляет $2\pi/3$.

На экране видно 6 лопастей, что вдвое больше, чем у реального вентилятора. Это означает, что за время $\Delta t$ между кадрами каждая лопасть успевает повернуться на такой угол, что ее изображение попадает точно посередине между положениями лопастей в предыдущем кадре. То есть, угол поворота $\Delta\phi$ должен быть равен половине угла между лопастями $\alpha/2 = 60^\circ$ (или $\pi/3$ рад), либо отличаться от этой величины на целое число полных поворотов на $120^\circ$.

Таким образом, угол поворота $\Delta\phi$ за время $\Delta t$ должен быть нечетным кратным половины угла между лопастями:

$\Delta\phi = (2k + 1) \cdot \frac{\alpha}{2}$, где $\text{k}$ — любое целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, ...$).

Подставим значение $\alpha = 2\pi/3$:

$\Delta\phi = (2k + 1) \cdot \frac{2\pi/3}{2} = (2k + 1) \frac{\pi}{3}$.

С другой стороны, угол поворота $\Delta\phi$ связан с частотой вращения $\text{n}$ (в оборотах в секунду, или Гц) и временем $\Delta t$ через угловую скорость $\omega = 2\pi n$:

$\Delta\phi = \omega \cdot \Delta t = 2\pi n \cdot \Delta t$.

Приравнивая оба выражения для $\Delta\phi$, получаем:

$2\pi n \cdot \Delta t = (2k + 1) \frac{\pi}{3}$.

Отсюда можно выразить частоту $\text{n}$:

$n = \frac{(2k + 1)}{6 \cdot \Delta t} = \frac{(2k + 1) \cdot f_c}{6}$.

Подставляем численное значение частоты кадров $f_c = 24$ Гц:

$n = \frac{(2k + 1) \cdot 24}{6} = 4(2k + 1)$ Гц.

Таким образом, возможны несколько значений частоты. Поскольку в задаче не дано дополнительных ограничений, обычно находят наименьшую возможную частоту, соответствующую $k=0$:

$n = 4(2 \cdot 0 + 1) = 4$ Гц.

Другие возможные частоты: 12 Гц (при $k=1$), 20 Гц (при $k=2$) и т.д.

Ответ: Частота вращения лопастей вентилятора может быть описана формулой $n = 4(2k+1)$ Гц, где $k=0, 1, 2, ...$. Наименьшая возможная частота вращения составляет 4 Гц.

Что наблюдалось бы на экране, если бы вращение лопастей чуть замедлилось?

Для создания иллюзии неподвижных шести лопастей (при минимальной частоте $n=4$ Гц) вентилятор должен поворачиваться на угол ровно в $60^\circ$ за время между кадрами. Если частота вращения $n'$ станет немного меньше, то за то же время $\Delta t$ лопасти будут поворачиваться на угол, который чуть меньше $60^\circ$.

В результате в каждом последующем кадре лопасти будут немного "не докручиваться" до положения, необходимого для создания неподвижной картинки. Для наблюдателя это будет выглядеть так, как будто вся система из шести видимых лопастей медленно вращается в сторону, противоположную реальному направлению вращения вентилятора.

Ответ: Если бы вращение лопастей чуть замедлилось, на экране наблюдалось бы медленное вращение шести лопастей в сторону, противоположную направлению фактического вращения вентилятора.