Номер 1.67, страница 13 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.67, страница 13.

Условие.

1.67**. Муха заметила на столе каплю меда, пролетая точно над ней горизонтально со скоростью $v_0$ на высоте $\text{H}$. Как надо двигаться мухе, чтобы как можно быстрее добраться до меда? Сколько времени $\text{t}$ для этого понадобится? Считайте, что муха способна развивать в любом направлении ускорение $\text{a}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная горизонтальная скорость: $v_0$

Начальная высота: $\text{H}$

Модуль ускорения, которое может развить муха: $\text{a}$

Найти:

1. Как надо двигаться мухе для скорейшего достижения цели?

2. Минимальное время $\text{t}$, необходимое для этого.

Решение:

Для того чтобы добраться до цели за минимальное время, муха должна двигаться с максимально возможным ускорением $\text{a}$, которое должно быть постоянным по модулю и направлению. Введем систему координат: начало поместим в точку, где находится капля меда (на столе). Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — в направлении начальной скорости мухи. В момент $t=0$, когда муха находится точно над каплей, ее начальные координаты и скорость:

Начальные координаты: $x_0 = 0$, $y_0 = H$

Вектор начальной скорости: $\vec{v_0} = (v_0, 0)$

Конечные координаты (цель): $x_f = 0$, $y_f = 0$

Пусть муха движется с постоянным ускорением $\vec{a} = (a_x, a_y)$, модуль которого равен $\text{a}$, то есть $a_x^2 + a_y^2 = a^2$.

Запишем уравнения движения для координат мухи как функции времени $\text{t}$:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2} = v_0 t + \frac{a_x t^2}{2}$

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = H + \frac{a_y t^2}{2}$

В момент времени $\text{t}$, когда муха достигает меда, ее координаты должны быть равны нулю: $x(t) = 0$ и $y(t) = 0$.

$v_0 t + \frac{a_x t^2}{2} = 0$

$H + \frac{a_y t^2}{2} = 0$

Из этих уравнений можно выразить компоненты ускорения $a_x$ и $a_y$ через искомое время $\text{t}$ (при условии, что $t \neq 0$):

$a_x = -\frac{2v_0}{t}$

$a_y = -\frac{2H}{t^2}$

Отрицательные знаки указывают на то, что для погашения начальной горизонтальной скорости ускорение должно быть направлено против оси OX (назад), а для преодоления высоты $\text{H}$ — против оси OY (вниз).

Теперь подставим полученные выражения для $a_x$ и $a_y$ в условие постоянства модуля ускорения:

$(-\frac{2v_0}{t})^2 + (-\frac{2H}{t^2})^2 = a^2$

$\frac{4v_0^2}{t^2} + \frac{4H^2}{t^4} = a^2$

Для нахождения $\text{t}$ решим это уравнение. Умножим обе части на $t^4$:

$4v_0^2 t^2 + 4H^2 = a^2 t^4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение относительно $\text{t}$:

$a^2 t^4 - 4v_0^2 t^2 - 4H^2 = 0$

Сделаем замену $z = t^2$ (где $z > 0$) и решим получившееся квадратное уравнение:

$a^2 z^2 - 4v_0^2 z - 4H^2 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения, учитывая, что нам нужен только положительный корень для $\text{z}$:

$z = \frac{-(-4v_0^2) + \sqrt{(-4v_0^2)^2 - 4(a^2)(-4H^2)}}{2a^2} = \frac{4v_0^2 + \sqrt{16v_0^4 + 16a^2 H^2}}{2a^2}$

$z = \frac{4v_0^2 + 4\sqrt{v_0^4 + a^2 H^2}}{2a^2} = \frac{2(v_0^2 + \sqrt{v_0^4 + a^2 H^2})}{a^2}$

Теперь вернемся к $\text{t}$, взяв квадратный корень из $z=t^2$:

$t = \sqrt{\frac{2(v_0^2 + \sqrt{v_0^4 + a^2 H^2})}{a^2}} = \frac{1}{a}\sqrt{2(v_0^2 + \sqrt{v_0^4 + a^2 H^2})}$

Это и есть искомое минимальное время.

Как надо двигаться мухе, чтобы как можно быстрее добраться до меда?

Чтобы добраться до меда как можно быстрее, муха должна лететь с постоянным по модулю и направлению ускорением $\text{a}$. Вектор ускорения должен быть направлен так, чтобы одновременно погасить начальную горизонтальную скорость и преодолеть вертикальное расстояние $\text{H}$. Как показывают формулы для компонент $a_x$ и $a_y$, ускорение должно быть направлено назад (против начальной скорости) и вниз.

Ответ: Мухе надо двигаться с постоянным ускорением $\text{a}$, направленным назад (против начальной скорости) и вниз.

Сколько времени t для этого понадобится?

Минимальное время полета определяется выражением, полученным в ходе решения уравнения движения.

Ответ: $t = \frac{1}{a}\sqrt{2(v_0^2 + \sqrt{v_0^4 + a^2 H^2})}$.