Номер 2.3, страница 14 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.3, страница 14.

Условие.

2.3* На подставке лежит груз, прикрепленный легкой пружиной к потолку. В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать с ускорением $\text{a}$. Через какое время $\text{t}$ груз оторвется от подставки? Жесткость пружины $\text{k}$, масса груза $\text{m}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$

Жесткость пружины: $\text{k}$

Ускорение подставки: $\text{a}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Начальное растяжение пружины: $x_0 = 0$

Найти:

Время отрыва груза от подставки: $\text{t}$

Решение:

Выберем ось OY, направленную вертикально вниз. Начало отсчета (Y=0) совпадает с начальным положением груза. В начальный момент времени ($t=0$) пружина не растянута, и груз покоится на подставке.

С момента начала движения подставки ($t>0$) и до момента отрыва, груз движется вместе с ней с постоянным ускорением $\text{a}$. На груз действуют три силы:
1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз (по оси OY).
2. Сила упругости пружины $F_{упр} = kx$, направленная вверх (против оси OY), где $\text{x}$ — растяжение пружины.
3. Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, со стороны подставки, направленная вверх (против оси OY).

Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на ось OY:
$ma = mg - F_{упр} - N$

Поскольку система движется из состояния покоя с постоянным ускорением $\text{a}$, путь, пройденный грузом за время $\text{t}$, равен растяжению пружины $\text{x}$. Этот путь можно найти по формуле равноускоренного движения:
$x = v_0 t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Таким образом, сила упругости зависит от времени как $F_{упр} = kx = k\frac{at^2}{2}$. Подставим это в уравнение второго закона Ньютона:
$ma = mg - k\frac{at^2}{2} - N$

Отрыв груза от подставки произойдет в тот момент, когда сила взаимодействия между ними, то есть сила нормальной реакции опоры, станет равной нулю ($N=0$). Обозначим этот момент времени как $\text{t}$.
При $N=0$ уравнение движения принимает вид:
$ma = mg - k\frac{at^2}{2}$

Теперь из этого уравнения выразим искомое время $\text{t}$:
$k\frac{at^2}{2} = mg - ma$
$k\frac{at^2}{2} = m(g - a)$
$t^2 = \frac{2m(g-a)}{ka}$
$t = \sqrt{\frac{2m(g-a)}{ka}}$

Данное решение имеет физический смысл, если выражение под корнем неотрицательно, то есть $g-a \ge 0$, или $a \le g$. Если ускорение подставки $a > g$, то отрыв произойдет в начальный момент времени $t=0$.

Ответ: $t = \sqrt{\frac{2m(g-a)}{ka}}$