Номер 2.9, страница 15 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.9, страница 15.

Условие.

2.9. В вагоне поезда, движущегося со скоростью $v = 72 \text{ км/ч}$, взвешивают на пружинных весах тело массой $m = 5,0 \text{ кг}$. Найдите показание $\text{P}$ пружинных весов, когда поезд движется по закруглению радиусом $R = 400 \text{ м}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v = 72$ км/ч

$m = 5,0$ кг

$R = 400$ м

Перевод в систему СИ:

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20$ м/с

Найти:

$\text{P}$

Решение:

Когда поезд движется по закруглению с постоянной по модулю скоростью, он обладает центростремительным ускорением $a_ц$. Это ускорение направлено горизонтально, к центру закругления, и его величина определяется формулой:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

На тело, подвешенное на пружинных весах, в системе отсчета, связанной с Землей, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_т} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины $\vec{P}$, которую и показывают весы. Эта сила направлена вдоль пружины.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение:

$\vec{P} + m\vec{g} = m\vec{a_ц}$

Из этого векторного равенства следует, что сила упругости $\vec{P}$ является векторной суммой двух компонент: вертикальной, уравновешивающей силу тяжести $m\vec{g}$, и горизонтальной, создающей центростремительное ускорение $m\vec{a_ц}$.

Поскольку векторы $m\vec{g}$ (сила тяжести) и $m\vec{a_ц}$ (центростремительная сила) перпендикулярны друг другу (один направлен вертикально, другой горизонтально), модуль результирующей силы $\vec{P}$ можно найти по теореме Пифагора:

$P = \sqrt{(mg)^2 + (ma_ц)^2}$

Вынесем массу $\text{m}$ за скобки:

$P = m \sqrt{g^2 + a_ц^2} = m \sqrt{g^2 + (\frac{v^2}{R})^2}$

Произведем вычисления. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

1. Найдем центростремительное ускорение:

$a_ц = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{400 \text{ м}} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{400 \text{ м}} = 1,0$ м/с²

2. Подставим все значения в формулу для $\text{P}$:

$P = 5,0 \text{ кг} \cdot \sqrt{(9,8 \text{ м/с}^2)^2 + (1,0 \text{ м/с}^2)^2}$

$P = 5,0 \cdot \sqrt{96,04 + 1,0} \text{ Н} = 5,0 \cdot \sqrt{97,04} \text{ Н}$

$P \approx 5,0 \cdot 9,851 \text{ Н} \approx 49,255$ Н

Вес тела в состоянии покоя равен $P_0 = mg = 5,0 \cdot 9,8 = 49$ Н. Движение по закруглению приводит к небольшому увеличению показаний весов. Округлим результат до трех значащих цифр, чтобы отразить это изменение.

$P \approx 49,3$ Н

Ответ: $P \approx 49,3$ Н.