Номер 2.15, страница 15 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.15, страница 15.

Условие.

2.15. Тело соскальзывает с наклонной плоскости без начальной скорости. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha = 30^\circ$, длина наклонной плоскости $l = 2$ м, коэффициент трения тела о плоскость $\mu = 0,3$. С каким ускорением движется тело? Сколько времени длится соскальзывание?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 0$ м/с

$\alpha = 30^\circ$

$l = 2$ м

$\mu = 0,3$

$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$a - ?$

$t - ?$

Решение:

На тело, соскальзывающее с наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$), направленная против движения (вдоль плоскости вверх).

Выберем систему координат, в которой ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy — перпендикулярно плоскости вверх.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$

Спроецируем это уравнение на выбранные оси координат.

Проекция на ось Oy:

$N - mg \cos \alpha = 0$

Движение перпендикулярно плоскости отсутствует, поэтому ускорение в этом направлении равно нулю. Отсюда выразим силу нормальной реакции:

$N = mg \cos \alpha$

Проекция на ось Ox:

$mg \sin \alpha - F_{тр} = ma$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции через коэффициент трения: $F_{тр} = \mu N$. Подставим сюда выражение для $\text{N}$:

$F_{тр} = \mu mg \cos \alpha$

Теперь подставим полученное выражение для силы трения в уравнение для оси Ox:

$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$

Масса тела $\text{m}$ сокращается, и мы получаем формулу для вычисления ускорения:

$a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$

С каким ускорением движется тело?

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$a = 9,8 \cdot (\sin 30^\circ - 0,3 \cdot \cos 30^\circ) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 9,8 \cdot (0,5 - 0,3 \cdot 0,866) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,26) = 9,8 \cdot 0,24 \approx 2,35$ м/с².

Ответ: Ускорение тела составляет примерно 2,35 м/с².

Сколько времени длится соскальзывание?

Движение тела является равноускоренным. Поскольку тело начинает движение без начальной скорости ($v_0 = 0$), пройденный путь $\text{l}$ можно найти по формуле:

$l = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы время $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{2l}{a}}$

Подставим известные значения длины плоскости и вычисленное ускорение:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2,35}} = \sqrt{\frac{4}{2,35}} \approx \sqrt{1,7} \approx 1,3$ с.

Ответ: Соскальзывание длится примерно 1,3 с.