Номер 2.18, страница 16 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.18, страница 16.

Условие.

2.18**.Найдите ускорение системы грузов, описанной в задаче 2.17, в общем случае (при произвольных значениях $m_1$, $m_2$ и $\mu$). В начальный момент грузы неподвижны.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Массы грузов: $m_1, m_2$.

Коэффициент трения: $\mu$.

Начальная скорость системы: $v_0 = 0$.

Найти:

Ускорение системы грузов $\text{a}$.

Решение:

Поскольку условие задачи отсылает к системе, описанной в задаче 2.17, будем рассматривать стандартную конфигурацию: груз массой $m_1$ находится на горизонтальной поверхности, а груз массой $m_2$ подвешен на невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок (невесомый, без трения в оси).

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекциях на оси координат. Ось OX направим горизонтально вправо, по направлению возможного движения груза $m_1$. Ось OY направим вертикально вверх для груза $m_1$ и вертикально вниз для груза $m_2$ (по направлению их возможного ускорения).

Для груза $m_1$, находящегося на горизонтальной поверхности:

1. Проекция на вертикальную ось OY: Сумма сил равна нулю, так как в этом направлении нет движения. $N - m_1g = 0$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Отсюда следует, что $N = m_1g$.

2. Проекция на горизонтальную ось OX: $T - F_{тр} = m_1a$, где $\text{T}$ — сила натяжения нити, $F_{тр}$ — сила трения скольжения, $\text{a}$ — ускорение системы.

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $\text{N}$, получим $F_{тр} = \mu m_1g$.

Тогда уравнение движения для груза $m_1$ примет вид:

$T - \mu m_1g = m_1a$ (1)

Для груза $m_2$, движущегося вертикально:

Проекция на вертикальную ось OY: $m_2g - T = m_2a$. Так как грузы связаны нерастяжимой нитью, их ускорения по модулю равны, и сила натяжения нити $\text{T}$ одинакова по всей длине.

Таким образом, второе уравнение системы:

$m_2g - T = m_2a$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $\text{T}$ и $\text{a}$. Чтобы найти ускорение $\text{a}$, сложим уравнения (1) и (2). Это позволит исключить силу натяжения $\text{T}$:

$(T - \mu m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$

Сократив $\text{T}$, получаем:

$m_2g - \mu m_1g = (m_1 + m_2)a$

Вынесем общие множители за скобки:

$g(m_2 - \mu m_1) = a(m_1 + m_2)$

Из этого уравнения выражаем искомое ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{g(m_2 - \mu m_1)}{m_1 + m_2}$

Данная формула верна только в том случае, если система действительно начала двигаться. По условию, в начальный момент грузы неподвижны. Движение начнется только тогда, когда движущая сила (сила тяжести груза $m_2$) превысит максимальную силу трения покоя, действующую на груз $m_1$.

Движущая сила: $P_2 = m_2g$.

Максимальная сила трения покоя: $F_{тр.пок.макс} = \mu_s N = \mu_s m_1g$. Если в задаче дан только один коэффициент трения $\mu$, то обычно предполагается, что коэффициент трения покоя $\mu_s$ равен коэффициенту трения скольжения $\mu_k$, то есть $\mu_s = \mu_k = \mu$.

Условие начала движения: $P_2 > F_{тр.пок.макс}$, то есть $m_2g > \mu m_1g$, что равносильно $m_2 > \mu m_1$.

Следовательно, необходимо рассмотреть два возможных случая:

1. Если $m_2 > \mu m_1$, движущая сила больше максимальной силы трения покоя. Система приходит в движение, и ее ускорение определяется выведенной выше формулой.

2. Если $m_2 \le \mu m_1$, движущей силы недостаточно, чтобы преодолеть трение покоя. Система останется неподвижной, и ее ускорение будет равно нулю ($a=0$).

Ответ:

Ускорение системы грузов $\text{a}$ зависит от соотношения параметров.
Если $m_2 > \mu m_1$, то система приходит в движение с ускорением: $a = \frac{g(m_2 - \mu m_1)}{m_1 + m_2}$.
Если $m_2 \le \mu m_1$, то система остается в покое, и ее ускорение: $a = 0$.