Номер 2.25, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.25, страница 17.

Условие.

2.25*. Угол $\alpha$ наклонной плоскости с горизонталью постепенно увеличивают от 0 до 90°. На плоскости находится ящик массой $\text{m}$. Коэффициент трения равен $\mu$. Постройте график зависимости силы трения $F_{тр}$ от угла $\alpha$. Чему равно максимальное значение силы трения $F_{max}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса ящика: $\text{m}$

Коэффициент трения: $\mu$

Угол наклона плоскости: $\alpha$, изменяется от $0^\circ$ до $90^\circ$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

1. График зависимости $F_{тр}(\alpha)$.

2. Максимальное значение силы трения $F_{max}$.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на ящик на наклонной плоскости: сила тяжести $\text{mg}$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения $F_{тр}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, направленные вдоль (ось Ox) и перпендикулярно (ось Oy) наклонной плоскости.

Проекция на ось Oy: $N - mg \cos \alpha = 0$, следовательно, сила нормальной реакции $N = mg \cos \alpha$.

Проекция на ось Ox: $mg \sin \alpha - F_{тр} = ma$, где $\text{a}$ — ускорение ящика вдоль наклонной плоскости.

Проанализируем поведение силы трения в зависимости от угла $\alpha$.

Постройте график зависимости силы трения $F_{тр}$ от угла $\alpha$.

Поведение силы трения зависит от того, движется ящик или покоится. Это определяется соотношением между скатывающей силой ($mg \sin \alpha$) и максимальной силой трения покоя ($F_{тр.покоя.max} = \mu N$).

Случай 1: Ящик покоится.

Это происходит, пока скатывающая сила не превышает максимальную силу трения покоя: $mg \sin \alpha \le \mu N$. Подставив $N = mg \cos \alpha$, получаем $mg \sin \alpha \le \mu mg \cos \alpha$, что эквивалентно $\tan \alpha \le \mu$.

В этом диапазоне углов, $0 \le \alpha \le \arctan(\mu)$, ускорение $a=0$. Сила трения покоя уравновешивает скатывающую силу:

$F_{тр} = mg \sin \alpha$.

Случай 2: Ящик скользит.

Когда угол наклона превышает критическое значение $\alpha_0 = \arctan(\mu)$, то есть при $\alpha > \arctan(\mu)$, скатывающая сила становится больше максимальной силы трения покоя, и ящик начинает скользить. В этом случае действует сила трения скольжения:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$.

Таким образом, зависимость силы трения от угла $\alpha$ является кусочно-заданной функцией:

$F_{тр}(\alpha) = \begin{cases} mg \sin \alpha, & \text{при } 0 \le \alpha \le \arctan(\mu) \\ \mu mg \cos \alpha, & \text{при } \arctan(\mu) < \alpha \le 90^\circ \end{cases} $

График этой зависимости состоит из двух частей. На первом участке ($0 \le \alpha \le \arctan(\mu)$) сила трения растет по синусоидальному закону от $\text{0}$ до своего максимального значения. На втором участке ($\arctan(\mu) < \alpha \le 90^\circ$) сила трения убывает по косинусоидальному закону от максимального значения до $\text{0}$ (при $\alpha=90^\circ$). Точка, соответствующая углу $\alpha_0 = \arctan(\mu)$, является точкой излома (пиком) на графике.

Ответ: График зависимости силы трения от угла наклона представляет собой функцию, которая сначала возрастает по закону $F_{тр} = mg \sin \alpha$ на интервале $[0, \arctan(\mu)]$, а затем убывает по закону $F_{тр} = \mu mg \cos \alpha$ на интервале $(\arctan(\mu), 90^\circ]$.

Чему равно максимальное значение силы трения $F_{max}$?

Из анализа, проведенного выше, следует, что сила трения достигает своего максимального значения в момент перехода от покоя к скольжению, то есть при угле $\alpha = \alpha_0 = \arctan(\mu)$.

Для нахождения этого значения подставим $\alpha_0$ в выражение для силы трения покоя в предельной точке:

$F_{max} = mg \sin(\alpha_0) = mg \sin(\arctan(\mu))$.

Чтобы выразить $\sin(\arctan(\mu))$ через $\mu$, можно использовать тригонометрические тождества. Если $\tan(\alpha_0) = \mu$, то $\sin(\alpha_0) = \frac{\tan(\alpha_0)}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha_0)}}$.

Подставляя $\tan(\alpha_0) = \mu$, получаем:

$\sin(\alpha_0) = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$.

Следовательно, максимальное значение силы трения равно:

$F_{max} = mg \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$.

Этот же результат получается, если подставить $\cos(\alpha_0) = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$ в выражение для силы трения скольжения в предельной точке: $F_{max} = \mu mg \cos(\alpha_0) = \mu mg \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$.

Ответ: Максимальное значение силы трения равно $F_{max} = mg \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$.