Номер 2.26, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.26, страница 17.

Условие.

2.26. Если наклонить доску под углом $ \alpha $ к горизонту, кирпич будет двигаться по ней практически равномерно. За какое время $ t $ кирпич проедет всю доску, если наклонить ее под углом $ \beta > \alpha $? Длина доски равна $ l $.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол наклона для равномерного движения: $ \alpha $

Угол наклона для ускоренного движения: $ \beta $, где $ \beta > \alpha $

Длина доски: $ l $

Найти:

Время движения $ t $

Решение:

Рассмотрим первый случай, когда кирпич движется по доске, наклоненной под углом $ \alpha $, равномерно. Это означает, что ускорение равно нулю ($ a_1 = 0 $), и, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к кирпичу, также равна нулю.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно ей вверх. На кирпич действуют три силы: сила тяжести $ m\vec{g} $, сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $ и сила трения скольжения $ \vec{F}_{тр} $.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

На ось OY: $ N - mg \cos \alpha = 0 \Rightarrow N = mg \cos \alpha $

На ось OX: $ mg \sin \alpha - F_{тр} = ma_1 = 0 \Rightarrow mg \sin \alpha = F_{тр} $

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения $ \mu $: $ F_{тр} = \mu N $. Подставив выражения для $ F_{тр} $ и $ N $, получим:

$ mg \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha) $

Отсюда находим коэффициент трения скольжения:

$ \mu = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha $

Теперь рассмотрим второй случай, когда доску наклоняют под углом $ \beta > \alpha $. Кирпич будет двигаться с некоторым ускорением $ a $.

Запишем второй закон Ньютона для этого случая в тех же проекциях:

На ось OY: $ N' - mg \cos \beta = 0 \Rightarrow N' = mg \cos \beta $

На ось OX: $ mg \sin \beta - F'_{тр} = ma $

Сила трения в этом случае: $ F'_{тр} = \mu N' = \mu mg \cos \beta $. Подставим это выражение и найденное ранее значение $ \mu $ в уравнение для оси OX:

$ ma = mg \sin \beta - (\tan \alpha) mg \cos \beta $

Сократим массу $ m $ и вынесем $ g $ за скобки:

$ a = g(\sin \beta - \tan \alpha \cos \beta) = g \left( \sin \beta - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cos \beta \right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ a = g \frac{\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha}{\cos \alpha} $

Используя тригонометрическую формулу синуса разности $ \sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha $, получим выражение для ускорения:

$ a = g \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos \alpha} $

Кирпич проходит путь $ l $ из состояния покоя ($ v_0 = 0 $) с постоянным ускорением $ a $. Время движения $ t $ можно найти из формулы равноускоренного движения:

$ l = v_0 t + \frac{a t^2}{2} = \frac{a t^2}{2} $

Выразим отсюда время $ t $:

$ t^2 = \frac{2l}{a} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2l}{a}} $

Подставим найденное выражение для ускорения $ a $:

$ t = \sqrt{\frac{2l}{g \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos \alpha}}} = \sqrt{\frac{2l \cos \alpha}{g \sin(\beta - \alpha)}} $

Ответ: $ t = \sqrt{\frac{2l \cos \alpha}{g \sin(\beta - \alpha)}} $