Номер 2.27, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.27, страница 17.

Условие.

2.27* Санки толкнули вверх по ледяной горке, составляющей угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом. Санки въехали на некоторую высоту и съехали обратно. Время спуска $t_{\text{с}}$ в $n = 1,2$ раза превышает время подъема $t_{\text{п}}$. Чему равен коэффициент трения?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол наклона горки: $ \alpha = 30^\circ $

Отношение времени спуска ко времени подъема: $ n = \frac{t_с}{t_п} = 1.2 $

Найти:

Коэффициент трения: $ \mu $

Решение:

Рассмотрим движение санок по наклонной плоскости. Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY перпендикулярна ей.

1. Движение вверх (подъем)

При движении вверх на санки действуют сила тяжести $\text{mg}$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Сила трения направлена против движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

На ось OY: $ N - mg \cos \alpha = 0 \implies N = mg \cos \alpha $

На ось OX: $ -mg \sin \alpha - F_{тр} = -ma_п $, где $a_п$ — модуль ускорения (замедления) при подъеме.

Сила трения равна $ F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha $.

Подставим силу трения в уравнение для оси OX:

$ mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha = ma_п $

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для ускорения при подъеме:

$ a_п = g (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) $

2. Движение вниз (спуск)

При движении вниз сила трения $F_{тр}$ направлена против движения, то есть вверх вдоль наклонной плоскости.

Второй закон Ньютона в проекции на ось OX:

$ mg \sin \alpha - F_{тр} = ma_с $, где $a_с$ — модуль ускорения при спуске.

Подставляя выражение для силы трения $ F_{тр} = \mu mg \cos \alpha $, получаем:

$ mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma_с $

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для ускорения при спуске:

$ a_с = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) $

3. Кинематические соотношения

Путь $\text{S}$, пройденный санками вверх до полной остановки, и путь, пройденный при спуске, одинаковы. Свяжем путь с ускорением и временем для обоих случаев.

При подъеме (движение от начальной скорости до 0): $ S = \frac{a_п t_п^2}{2} $

При спуске (движение из состояния покоя): $ S = \frac{a_с t_с^2}{2} $

Приравниваем выражения для пути:

$ \frac{a_п t_п^2}{2} = \frac{a_с t_с^2}{2} \implies a_п t_п^2 = a_с t_с^2 $

Подставим полученные ранее выражения для ускорений $a_п$ и $a_с$:

$ g (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) t_п^2 = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) t_с^2 $

Сократим на $\text{g}$ и выразим отношение квадратов времен:

$ \frac{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}{\sin \alpha - \mu \cos \alpha} = \frac{t_с^2}{t_п^2} $

По условию $ \frac{t_с}{t_п} = n $, следовательно $ \frac{t_с^2}{t_п^2} = n^2 $.

$ \sin \alpha + \mu \cos \alpha = n^2 (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) $

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $ \mu $:

$ \sin \alpha + \mu \cos \alpha = n^2 \sin \alpha - n^2 \mu \cos \alpha $

$ \mu \cos \alpha + n^2 \mu \cos \alpha = n^2 \sin \alpha - \sin \alpha $

$ \mu \cos \alpha (1 + n^2) = \sin \alpha (n^2 - 1) $

Выразим коэффициент трения $ \mu $:

$ \mu = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} = \tan \alpha \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} $

4. Вычисление

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ \mu = \tan 30^\circ \frac{1.2^2 - 1}{1.2^2 + 1} = \tan 30^\circ \frac{1.44 - 1}{1.44 + 1} = \tan 30^\circ \frac{0.44}{2.44} $

Зная, что $ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 $, получаем:

$ \mu \approx 0.577 \cdot \frac{0.44}{2.44} \approx 0.577 \cdot 0.1803 \approx 0.104 $

Ответ: $ \mu \approx 0.104 $.