Номер 2.28, страница 17 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 2. Законы Ньютона - номер 2.28, страница 17.

Условие.

2.28**. На ледяном склоне, составляющем угол $\alpha$ с горизонтом, находится доска массой $\text{M}$. Как должен бежать по этой доске человек массой $\text{m}$, чтобы доска оставалась в покое? При каком коэффициенте трения $\mu$ между подошвами и доской это возможно? Трение между доской и льдом пренебрежимо мало.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса доски: $\text{M}$
Масса человека: $\text{m}$
Угол наклона склона: $\alpha$
Коэффициент трения между подошвами и доской: $\mu$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Условие: доска находится в покое, $\vec{a}_M = 0$.
Трение между доской и льдом отсутствует.

Найти:

Ускорение человека $\vec{a}$
Условие на коэффициент трения $\mu$

Решение:

Введем инерциальную систему отсчета, связанную со склоном. Направим ось $\text{Ox}$ вдоль склона вниз, а ось $\text{Oy}$ — перпендикулярно склону вверх.

Как должен бежать по этой доске человек массой m, чтобы доска оставалась в покое?

По условию доска покоится, значит, ее ускорение равно нулю ($\vec{a}_M = 0$). Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на доску, равна нулю. Запишем уравнение сил в проекции на ось $\text{Ox}$:

$\sum F_{Mx} = Mg \sin\alpha + F_{тр. со стороны чел.} = 0$

Здесь $Mg \sin\alpha$ — проекция силы тяжести, действующей на доску, а $F_{тр. со стороны чел.}$ — проекция силы трения, с которой человек действует на доску. Из уравнения следует, что эта сила должна быть направлена вверх по склону (против оси $\text{Ox}$), а ее модуль равен:

$F_{тр} = Mg \sin\alpha$

Чтобы человек действовал на доску с силой, направленной вверх по склону, он должен отталкиваться от нее, двигаясь вниз по склону.

Теперь рассмотрим силы, действующие на человека. Согласно третьему закону Ньютона, доска действует на человека с силой трения, равной по модулю $F_{тр}$ и направленной в противоположную сторону, то есть вниз по склону (вдоль оси $\text{Ox}$). Запишем второй закон Ньютона для человека в проекции на ось $\text{Ox}$:

$\sum F_{mx} = mg \sin\alpha + F_{тр} = ma$

Здесь $\text{a}$ — ускорение человека относительно склона. Подставим найденное значение $F_{тр}$:

$mg \sin\alpha + Mg \sin\alpha = ma$

$(M+m)g \sin\alpha = ma$

Отсюда находим искомое ускорение человека:

$a = \frac{M+m}{m} g \sin\alpha$

Поскольку доска покоится, это ускорение человека как относительно склона, так и относительно доски. Ускорение направлено вниз по склону.

Ответ: Чтобы доска оставалась в покое, человек должен бежать по ней вниз по склону с ускорением $a = \frac{M+m}{m} g \sin\alpha$.

При каком коэффициенте трения μ между подошвами и доской это возможно?

Описанное движение возможно, если сила трения, необходимая для удержания доски, не превышает максимальную силу трения скольжения между подошвами человека и доской:

$F_{тр} \le \mu N$

Здесь $\text{N}$ — сила нормальной реакции, действующая на человека со стороны доски. Чтобы найти $\text{N}$, запишем второй закон Ньютона для человека в проекции на ось $\text{Oy}$. Так как в перпендикулярном склону направлении движения нет, ускорение равно нулю:

$\sum F_{my} = N - mg \cos\alpha = 0$

Отсюда сила нормальной реакции равна:

$N = mg \cos\alpha$

Подставим выражения для $F_{тр}$ и $\text{N}$ в неравенство:

$Mg \sin\alpha \le \mu (mg \cos\alpha)$

Выразим из этого неравенства коэффициент трения $\mu$:

$\mu \ge \frac{Mg \sin\alpha}{mg \cos\alpha}$

$\mu \ge \frac{M}{m} \tan\alpha$

Ответ: Это возможно при коэффициенте трения $\mu \ge \frac{M}{m} \tan\alpha$.