Номер 3.1, страница 18 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.1, страница 18.

Условие.

3.1. Оцените массу Солнца, считая расстояние $\text{R}$ от Земли до Солнца равным $1,5 \cdot 10^8$ км.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Расстояние от Земли до Солнца $R = 1,5 \cdot 10^8$ км.

Для решения задачи также потребуются справочные данные:

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$.

Период обращения Земли вокруг Солнца $T = 1$ год.

Перевод в систему СИ:
$R = 1,5 \cdot 10^8 \text{ км} = 1,5 \cdot 10^8 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}$.
$T = 1 \text{ год} \approx 365,25 \text{ суток} = 365,25 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 3,156 \cdot 10^7 \text{ с}$. Для оценки можно принять $T \approx 3,15 \cdot 10^7 \text{ с}$.

Найти:

Массу Солнца $M_С$.

Решение:

Будем считать, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите. В этом случае движение Земли происходит под действием силы всемирного тяготения со стороны Солнца, которая сообщает Земле центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на Землю, равна произведению массы Земли $m_З$ на ее центростремительное ускорение $a_ц$:

$F = m_З \cdot a_ц$

Силой, удерживающей Землю на орбите, является гравитационная сила:

$F_г = G \frac{M_С m_З}{R^2}$

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиуса $\text{R}$ со скоростью $\text{v}$, равно:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Приравниваем гравитационную силу и силу, вызывающую центростремительное движение:

$G \frac{M_С m_З}{R^2} = m_З \frac{v^2}{R}$

Масса Земли $m_З$ сокращается:

$G \frac{M_С}{R} = v^2$

Скорость движения Земли по орбите $\text{v}$ можно выразить через период обращения $\text{T}$ и радиус орбиты $\text{R}$. За время $\text{T}$ Земля проходит путь, равный длине окружности $2\pi R$:

$v = \frac{2\pi R}{T}$

Подставим выражение для скорости в предыдущую формулу:

$G \frac{M_С}{R} = \left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2}$

Выразим массу Солнца $M_С$:

$M_С = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления, приняв $\pi \approx 3,14$:

$M_С = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (1,5 \cdot 10^{11} \text{ м})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot (3,15 \cdot 10^7 \text{ с})^2}$

$M_С = \frac{4 \cdot 9,86 \cdot 3,375 \cdot 10^{33}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 9,9225 \cdot 10^{14}} \text{ кг}$

$M_С \approx \frac{133,11 \cdot 10^{33}}{66,18 \cdot 10^3} \text{ кг} \approx \frac{1,33 \cdot 10^{35}}{6,62 \cdot 10^4} \text{ кг} \approx 2,01 \cdot 10^{30} \text{ кг}$

Округляя, получаем оценочное значение массы Солнца.

Ответ: Масса Солнца составляет примерно $2 \cdot 10^{30}$ кг.