Номер 3.5, страница 18 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.5, страница 18.

Условие.

3.5**. Однажды в своих космических странствиях я попал на удивительную планету: внутри она была пуста, т. е. имела форму сферической оболочки постоянной толщины. Обитатели планеты жили на ее внутренней поверхности и, представьте себе, перелетали из одного места в другое, просто чуть-чуть подпрыгнув: внутри планеты совершенно не ощущалась сила тяжести! Можете ли вы это объяснить?

Решение.

Решение 2.

Решение

Это явление объясняется следствием из закона всемирного тяготения, известным как теорема о сферической оболочке (или первая теорема Ньютона для тяготения). Эта теорема гласит, что гравитационная сила, действующая на любое тело, находящееся внутри однородной сферической оболочки, равна нулю.

Планета в задаче представляет собой как раз такую сферическую оболочку. Когда обитатель находится внутри полости этой планеты, его притягивают к себе все частицы, из которых состоит планета. Однако силы притяжения от разных частей оболочки идеально компенсируют друг друга.

Чтобы понять, почему так происходит, рассмотрим тело, находящееся в произвольной точке $\text{P}$ внутри полости. Любая прямая, проведенная через эту точку, пересечет оболочку в двух местах. Сила притяжения со стороны более близкого и, следовательно, меньшего по площади участка оболочки, будет в точности равна силе притяжения со стороны более далекого, но большего по площади участка.

Математически это можно показать так. Выделим два малых противоположных телесных угла с вершиной в точке $\text{P}$. Они вырежут на сфере два участка с площадями $dS_1$ и $dS_2$ на расстояниях $r_1$ и $r_2$. Площади этих участков пропорциональны квадратам расстояний до них: $dS_1 \propto r_1^2$ и $dS_2 \propto r_2^2$. Массы этих участков $dm_1$ и $dm_2$ пропорциональны их площадям (при постоянной толщине и плотности). Сила притяжения $\text{dF}$ от каждого участка, согласно закону всемирного тяготения, прямо пропорциональна массе участка и обратно пропорциональна квадрату расстояния до него:

$dF_1 \propto \frac{dm_1}{r_1^2} \propto \frac{r_1^2}{r_1^2} = 1$

$dF_2 \propto \frac{dm_2}{r_2^2} \propto \frac{r_2^2}{r_2^2} = 1$

Таким образом, силы притяжения от этих двух противоположных участков оказываются равными по величине. Так как они направлены в противоположные стороны, их векторная сумма равна нулю. Поскольку всю сферическую оболочку можно разбить на такие пары противоположных участков, результирующая сила тяготения в любой точке внутри полости будет равна нулю.

Поэтому, как только обитатель отталкивается от внутренней поверхности, он перестает испытывать силу тяжести и движется по инерции (равномерно и прямолинейно) до столкновения с другой точкой на внутренней поверхности, что и воспринимается как полет в невесомости.

Ответ: Внутри однородной сферической оболочки (полой планеты) гравитационное поле равно нулю. Силы притяжения, действующие на тело со стороны всех частей оболочки, взаимно компенсируются. Из-за этого внутри планеты царит невесомость, и любой небольшой толчок позволяет обитателям "перелетать" с места на место, двигаясь по инерции.