Номер 3.9, страница 19 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 3. Закон всемирного тяготения - номер 3.9, страница 19.

Условие.

3.9. Найдите скорость движения Луны относительно Земли и период ее обращения вокруг Земли, считая, что Луна движется по круговой орбите радиусом 384 000 км.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус круговой орбиты Луны: $R = 384 000 \text{ км}$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли: $M_З \approx 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$R = 384 000 \text{ км} = 3.84 \times 10^8 \text{ м}$

Найти:

Скорость движения Луны $\text{v}$ и период ее обращения $\text{T}$.

Решение:

Луна движется по круговой орбите вокруг Земли. Сила всемирного тяготения, действующая на Луну со стороны Земли, сообщает ей центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения ($F_{грав}$) и произведение массы Луны ($m_Л$) на ее центростремительное ускорение ($a_ц$):

$F_{грав} = m_Л a_ц$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{грав} = G \frac{M_З m_Л}{R^2}$

Центростремительное ускорение при движении по окружности радиусом $\text{R}$ со скоростью $\text{v}$ равно:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Подставив выражения для силы и ускорения в исходное уравнение, получим:

$G \frac{M_З m_Л}{R^2} = m_Л \frac{v^2}{R}$

Сократив массу Луны $m_Л$ и радиус $\text{R}$, находим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{G M_З}{R}$

Отсюда скорость движения Луны равна:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{R}}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24})}{3.84 \times 10^8}} \approx \sqrt{\frac{3.986 \times 10^{14}}{3.84 \times 10^8}} \approx \sqrt{1.038 \times 10^6} \approx 1019 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат до трех значащих цифр: $v \approx 1020 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ или $1.02 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Теперь найдем период обращения Луны $\text{T}$. Период – это время, необходимое для совершения одного полного оборота. Длина орбиты (длина окружности) равна $L = 2\pi R$. Так как движение равномерное, скорость можно выразить как отношение длины орбиты ко времени обращения:

$v = \frac{L}{T} = \frac{2\pi R}{T}$

Выразим из этой формулы период $\text{T}$:

$T = \frac{2\pi R}{v}$

Подставим известные значения радиуса и вычисленную скорость (используя более точное значение для расчета):

$T = \frac{2 \pi \times (3.84 \times 10^8 \text{ м})}{1019 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx \frac{2.413 \times 10^9}{1019} \approx 2.368 \times 10^6 \text{ с}$

Для удобства восприятия переведем секунды в сутки. В одних сутках $24 \times 60 \times 60 = 86400$ секунд.

$T \text{ (в сутках)} = \frac{2.368 \times 10^6 \text{ с}}{86400 \frac{\text{с}}{\text{сут}}} \approx 27.4 \text{ суток}$

Ответ: скорость движения Луны относительно Земли приблизительно равна $1020 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ (или $1.02 \frac{\text{км}}{\text{с}}$), а период ее обращения вокруг Земли составляет примерно $2.37 \times 10^6 \text{ с}$ (что соответствует $27.4$ суткам).